第八版高等数学函数与极限知识点：数学笔记-同济第七版高数

一、夹逼定理

1、数列型

定义：设an<=bn<=cn lim(n->∞){an}=lim(n->∞){cn}=A

则lim(n->∞){bn}=A

证明：

all ε>0

∵lim(n->∞){an}=lim(n->∞){cn}=A

∴存在N1>0,当x>N1时，|an-A|<ε <=>A-ε<an<A ε（1）

存在N2>0,当x>N2时，|bn-A|<ε <=>A-ε<bn<A ε（2）

又∵an<=bn<=cn（3）

取N=max{N1,N2}

对于x>N

结合(1)(2)(3)

A-ε<bn<A ε, 即|bn-A|<ε

所以lim(n->∞){bn}=A

例1：求lim(x->∞){1/√(n^2 1) 1/√(n^2 2) ... 1/√(n^2 n)}

令bn=1/√(n^2 1) 1/√(n^2 2) ... 1/√(n^2 n)

可知n/√(n^2 n)<=bn<=n/√(n^2 1)

因为lim(x->∞)n/√(n^2 n)=1

lim(x->∞)n/√(n^2 1)=1

所以由夹逼定理

lim(x->∞)bn=1

即lim(x->∞){1/√(n^2 1) 1/√(n^2 2) ... 1/√(n^2 n)}=1

例2：lim(x->∞){n/(n^2 1) n/(n^2 2) ... n/(n^2 n)}

令bn=n/(n^2 1) n/(n^2 2) ... n/(n^2 n)

n^2/(n^2 n)<=bn<n^2/(n^2 1)

因为lim(x->∞){n^2/(n^2 n)}=1

lim(x->∞){n^2/(n^2 1)}=1

所以由夹逼定理：

lim(x->∞){n/(n^2 1) n/(n^2 2) ... n/(n^2 n)}=1

2、函数型

定义：若f(x)<=g(x)<=h(x)且lim(x->a)f(x)=lim(x->a)h(x)=A

则lim(x->a)g(x)=A

证明过程类似于数列形式。

1、{an}有界 <=> {an}有上下界

2、若{an}单调递增：

（1）有上界：lim(x->∞){an}存在

（2）无上界：lim(x->∞){an}不存在

3、若{an}单调递减

（1）有下界：lim(x->∞){an}存在

（2）无下界：lim(x->∞){an}不存在

例3：a1=√2, a2=√(2 √2),a3=√(2 √(2 √2)).....

证lim(x->∞){an}存在，求极限

a(n 1)=√(2 an)(n=1,2,3...)

显然an单调递增

当n=1时，a1<=2

若n=k时，ak<=2

当n=k 1时，a(k 1)=√(2 ak)<=√(2 2)=2

所以{an}有上界

又∵{an}单增

所以{an}有极限

设极限为A

由a(n 1)=√(2 an)

A=√(2 A)

求得A=2

所以lim(x->∞){an}=2

1、lim(x->0)(sinx/x)=1

推广：lim(Δ->0)(sinΔ/Δ)=1

2、lim(x->∞)(1 1/n)^n=e

推广式：

（1）：lim(Δ->∞)(1 1/Δ)^Δ=e

（2）：lim(Δ->0)(1 Δ)^(1/Δ)=e

例4：lim(x->0)(1 2x)^sinx

=lim(x->0)[(1 2x)^(1/2x)]^(2x/sinx)

=e^lim(x->0)(2x/sinx)

=e^(2*lim(x->0)(x/sinx))

=e^2

例5：lim(x->0)(ln(1 x)/x)

=lim(x->0)(1/x)ln(1 x)

=lim(x->0)ln(1 x)^(1/x)

=ln(lim(x->0)(1 x)^(1/x))

=lne

=1