微分二元函数与一元函数区别 多元函数与一元函数微分几何意义的联系与区别

首先了解一元函数中微分的意义：

由上图可以看出，微分其实就是由于自变量的改变而导致的因变量的变化中的主要部分。

上图是一元函数微分的定义。

上图表明微分的几何意义是：对于曲线上的某一点做一条切线，再假定切点的横坐标变化delta x,这时微分dy表示的是切线上这两点相应的纵坐标的变化量，而函数增量delta y则是曲线上相同两点纵坐标的变化量。

全微分也可以表示为：

上图是把微分的概念从一元函数拓展到了多元函数。那么，从一元函数微分的几何意义，我们会很自然地联想到二元函数的几何意义：二元函数的全微分是不是就是曲面的切平面上两个点之间的高度变化呢？

从切平面的方程可以看出，由于z-z0就是dz，x-x0就是dx，y-y0就是dy，所以，上述猜想是正确的。

如上图所示，假设A点坐标是（x,y）,B点坐标是

则由这两点在xoy平面向上作两条垂线（这里过A点的垂线与曲面的交点就是M），与切平面交点之间的高度差就是全微分

，而与曲面两个交点之间的高度差就是全增量

所以，数学上的很多东西，都是先从一维二维空间开始，进而推广到三维或者更高维度的空间。二元函数全微分的几何意义，仅仅需要把曲线推广到曲面，切线推广到切平面，就完全可以理解了。