定积分和多元函数微积分知识点 微积分笔记，多元函数微积分的要点

首先申明：

本系列免费。之后如果有其他系列，也免费。基本上，我应该不会走赚人气 付费阅读的路子。大家可以放心阅读，免费挖坑，免费填坑。

一元微积分，本身能反映的哲学层面的东西不多。原因很简单，宇宙大法在一元空间被压缩了，虽然有体现，如之前说到的自然数e。但总体上来讲是被压缩了。多元函数微积分中，完完整整的讨论了三维空间，所以会出现很多新的概念，而且跟中学以来的我们一直所受的数学训练不一样。这里我先总结几个问题，后面依次展开。

这篇文章的目的，只是罗列一些接下去要讨论的题目。在后面陆续展开。对，只挖坑！

数学本身是螺旋前进发展的，所以，书本的编排有一个空间上的顺序，教学上也有个前后的顺序。但是往往一个概念的完全掌握，需要后面概念和定理的支撑。举个例子，一元函数中，隐函数的导数的求导公式，这个公式的证明，是在多元函数中证明的。或者说一元函数隐函数的求导方法，必须在多元函数中讨论。这就直接导致了我接下去要讨论的点，可能每个点之间都有一些关系。你没办法按部就班的从前到后看文章，有的观点是在后面的文章中证明。当然我尽量还是论题之间的逻辑关系发布，使得这个系列你可以按照我的发布时间依次阅读。

第一个问题，恐怕就是三度了。这三个度的理解难度依次递增。原因很简单，我们从小接触的都是标量，直到高中才接触矢量。后两个是对矢量的度量，特别是旋度，是对矢量的矢量度量。我们对矢量的训练是不够的，所以理解三度，特别是旋度，一开始费解，非常正常。

这三度的物理意义是什么，为什么要有这三度，这三个度反映了什么问题。

如果弄明白了这些问题，就回答有没有第四个度？或者说为什么是3？2不行吗？4呢？

弄明白三度，特别是旋度后。你会发现一个有趣的问题。旋度只能作用于三维矢量！旋度只能作用于三维矢量！旋度只能作用于三维矢量！这点和梯度散度不一样。非常不和谐有没有？

事出有异必有妖

我们可以将旋度硬生生摁到二维空间，看看会发生什么。万一，如果摁进去了，会发生什么？数学上的和谐，物理上能不能和谐？把麦克斯韦电磁方程摁一个看看有什么结果？

接下去的一个大坑就是3 1公式

• 格林公式
• 高斯公式
• 斯托克斯公式
• 统一公式

3大公式有这么几个不舒服的地方

• 为什么格林公式是二维的，其他两个是三维的
• 格林公式可以看做是斯托克斯的二维特例，那么高斯的二维特例呢
• 它们有没有一维的表现形式

再接下去的问题就是这三个公式的物理意义是什么，不能只是纯数学的推导吧。

统一公式引发的问题是外微分不满足交换律。这点本身到不奇怪，因为不满足交换律的不止它一个。矢量外积、线性代数中的矩阵乘法，信号与系统中的某些重积分，都是强顺序的，交换顺序并不能得到相同结果。但这背后一定是有原因的。

顺着这个思路，一维空间中有没有哪个运算也是这样的？实数满足交换律的吧，实数集有没有不满足交换律的运算？这个问题也就是说，一维空间中是否存在矢量？实际一点，能不能把3大公式摁到一维空间？完整学过微积分的知道，这不就牛顿莱布尼兹公式么，它就是统一公式的一维化结果。是的，没错。但是三维空间中有高斯和斯托克斯两个，怎么到了一维空间就只剩牛顿莱布尼兹了？它代表了两个？还是另一个失踪了？

摁完了3大公式，摁个三度看看，把三度摁到一维里，我们构建一个一维空间，看看是什么情况。

胡思乱想是可以的，活络活络心眼还不行吗。这里的问题就海的去了，什么时空尽头啊，黑洞啊白洞啊。纯粹的好奇，没有办法罗列，更没有办法展开。

想想是可以的，但是在这个系列笔记里，我还是希望能在微积分的框架下，用微积分给出的概念定理讨论问题。就像之前讨论时间旅行的帖子，如果没有那个手写推导的照片，也就是没有在微积分这个数学体系里讨论，我就不会写了。乱挖坑，挖废坑，对微积分学习帮助不大。我们每挖一个坑，必须坚持一个原则，对学习该门课程有帮助。

把关于这个系列的排版讲一下，图片很少！！！对，画图太麻烦。公式太少！对，编写公式更麻烦。