计算两条曲线所围成图形的面积：在无穷大环境下曲线所围成面积的有趣特性

前面的《探索：为什么1/x,1/x^2曲线下的面积一个是无穷大，而另一个是1》一文中我们从两个相似的函数所围成的面积中得出两种截然相反的结果，也得出一条重要结论：当x趋于无穷大时，虽然两个函数都趋于0，但变化越快的函数所围成的面积是个定值的，变化慢的函数所围成的面积是趋于无穷大的。你在学微积分时是否有注意到这个现象。

此外，我们继续延伸，将面积收敛的1/x^2函数，换成1/(x^2 1)，在x趋于无穷大时，它的面积又是怎么样的呢？首先我们来猜测一下，x 在∞时，1/x^2所围成的面积是存在的，那么1/(x^2 1)所围成的面积肯定存在，因为，在无穷大的情况下1/x^2=1/(x^2 1)

/x^2的函数图形只有右边区域，但1/(x^2 1)分母中有了一个1从而避免了分母为0的可能，所以1/(x^2 1)的图形包含左右对称的两边。也就是一个偶函数

我们继续分析1/(x^2 1)在无穷大时的状况，如果你查阅了积分表，或者精通无穷级数的话一眼就可看出，它是一个特殊的积分：就是tanx的反函数，即反正切函数

首先在tanx=0时，x肯定等于0，那么当tanx=∞时，根据你的初高中知识，立马得出x=π/2

或者你可以从另外的角度理解：tanx=sinx/cosx，在什么情况下斜率tanx最大呢，肯定是sinx=1，cosx=0时最大，所以x=π/2。

将x换成t趋于正无穷大时，就得到曲线下的面积是π/2，为了获得趋于负无穷大另一半的面积，又因为这是一个偶函数，是关于y轴对称的，所以1/(x^2 1)所围成的整体面积就是π

你会惊讶的发现它的面积居然和π有关，我们一般只有在处理圆周问题时才会看到π，但这里是没有圆周的，这是数学中令人惊叹的神秘的例子之一。

我们再来看另一个例子，如下明显涉及到渐近线问题，渐近线有水平和垂直渐近线之分

如果我们向右移动垂直渐近线，这里的t可以替换任意值，注意从这里你是否可以发现如何求一个函数的渐近线，即x趋于∞时，对应的y值是个常数，那么这个常数就是x的水平渐近线，反之就是y的垂直渐近线。

如下你看，x=2时，y值趋于无穷大，所以x=2是y的垂直渐近线

这个函数不同于以上的，只有在x取某个具体数值时，整体函数才会处于无穷大的状态

经过简单的变化，你可以得出这个函数所围成的面积。

你会发现我们求得在这些在无穷大环境下的积分面积和在有限区间内的积分性质是一样的，只不过在无穷大环境下更能体现一个函数的真实状况和完整的特性。这在无穷级数里面也表现得淋漓尽致。

以上都是一些习以为常的函数，也许曾经并未引起你的注意，而就是这些不起眼的例子，却隐藏着丰富的数学知识。

留给伙伴一个思考题：1/(x^2 1)和1/x^2虽然在趋于无穷大时，两者是等价的，但为什么在1到 ∞时：1/(x^2 1)曲线下的面积反而大于1/x^2曲线下的面积，虽然它们相差的数值小于1。

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