所有的自然数之和居然是负数:全体自然数之和竟然等于-1
我们来探讨这样一个奇怪的问题,相信大家都见过下面这个等式:
它究竟是对还是错呢?话不多说,就让我们开门见山。
卡西米尔效应
不提解析延拓就谈自然数之和为负数,简直是“耍流氓”在通常的研究范畴中,这个和是不存在的,就算是没有受过教育的人也能认识到,无穷多个正数相加,怎么可以出现负数呢?
自然数之和的通项公式长这样子:
可为什么仍然有人认为下面的公式成立呢?
我们必须在此强调,求一个无穷数列和的必要条件是——该无穷数列必须收敛。而1 2 3 ...n显然是发散的,是不能求和的。(如何判断无穷级数的敛散性,请看笔者之前的文章,里面有详细论述)
市面上流行的简单证明方法是错误的我们来看看一种错误的证明,虽然它可以算出1 2 3 ...n等于-1/12,然而毫无意义。不声明适用范围的“推导”在数学上是非法的,无意义的,即使它碰巧结果对了。
(这里只写一部分,详细过程就不啰嗦了,因为全篇的“证明”思路同这部分大同小异),然后分析一下它为什么错了:
我们假设下面这个和存在,记为A,则:
把小括号去掉:
前两项 1 - 1 的结果显然为0,上式就变成:
接下来的技巧和列等号就已经是错的了,继续写下去毫无意义,因为该数列本就是发散的,本来就不能对一个发散的数列求和。
具体“证明”过程笔者不再赘述。相信大家已经看出来了,A=1-1 1-1...自然是发散数列,是不能求和的,想当然的给它赋予1/2,这就是错误的地方(如果按照类似的方法去处理,还可以得到A=0)
让我们来看一种正确的证明方法:
既然你说“1 2 3 4 .......n等于-1/12”是错误的,那为什么它又是“对”的呢?原因就在于我们提前声明这个结果成立的前提条件,适用范围是什么:只有在解析延拓(Analytic continuation),也就是在复变函数体系下,才能认为上面的结果是正确的。
解析延拓
如何通俗理解解析延拓呢?原来的求和只能在发生在实数域上,而现在实数域的基础上将复数域按照光滑的性质杂糅耦合进来了,也就是将实数域扩充到复数域上了(多出来了虚数轴):
现在开始证明它,我们需要准备两大数学工具——部分黎曼ζ函数和巴塞尔级数:
先说黎曼Zeta函数:
黎曼zeta函数
它长什么样子呢?它实际上涵盖了整个复平面负半轴,函数线上的点代表了复数坐标(x,yi)
式中Γ(s)为伽马函数
伽马函数
我们还要知道一个重要级数求和式,它是由欧拉最早证明的(巴塞尔问题):
它的证明过程本文就不多叙述了。我们只需拿过来用一下。
知道了这些,我们要想证明1 2 3 4 .......n等于-1/12,实际上就是在求ζ(-1)的值究竟是多少,为什么呢?因为ζ(1)所代表的是:
所以:
而:
代入可得:
这才是1 2 3 4 .......n等于-1/12的来历。
黎曼
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