三角不等式例题含答案 三角比相关的不等式的一个小备注

作者| 张镇华（台湾大学数学系名誉教授）

来源|《数学传播》2023年第47卷第1期（185），感谢《数学传播》授权转载！

中山大学应用数学系的“双周一题”网络数学问题征答活动历史悠久， 深受各界好评。数学传播季刊最近有一篇连威翔的文章 [1]， 讨论九十二学年度第一学期的第三题 [2]， 题目如下：

这是一道链接三角比与角度的不等式， 解题的起手式当然少不了下面这一个三角比与角度的最根本不等式：

其证明可由图 1 中” △ O A B 面积 < 扇形 O A B 面积 < △ O B C 面积“的关系推得。

图1图参见 [1]。

不论是 [1] 还是 [2] 都有推导三角比公式后， 再利用 (2) 来证明的方法。以 [2] 为例， 其推导如下。

对,令,则有、,其中,因此

往高一点观点想， (2)是用来推导三角函数导函数的基本工具， 所以三角函数的微分中也藏有这个公式。基于此， [2] 还有一个用微分解题的方法如下。

令,则。利用算几不等式， 因为当时,所以

由微积分的性质知道， f在上严格递增， 此时对恒有, 得知。

我们的观察由此开始。光是利用微分， 并没有将微积分用到极致。微分最后的一个小终点是泰勒展开式。考虑正弦函数和正切函数的泰勒展开式如下。

其中我们只考虑 的部分。如果我们只取两项当作估计， 其实会有：

由此可以很容易看出来

由中多出来的,也可以看出来， 其实会有一个更强的不等式

注意到

如果回到只用微分来证明 (4)，几乎和 [2] 一样的证明如下所示。

令,则。利用算几不等式， 因为当时,所以

由微积分的性质知道，g在上严格递增， 此时对,恒有,得知。

在此我们可以看到， 利用算几不等式时，(5)的推导比 (3) 更自然。在此， 我们征求， 不用微积分的证明方法。利用泰勒展开式， 我们还可以看到余弦函数的公式

这看起来和正弦函数及正切函数不是一个等级， 因为其第 1 项是 1， 不是θ。不过我们可以做一个小变动， 考虑

由此也可以看出如下的不等式：

我们邀请读者用各种方法来证明 (6)。

参考文献

[1]连威翔。从一道三角函数不等式的证明谈起。数学传播季刊， 46（3）， 69-78， 2022。

[2]“双周一题”网络数学问题征答， 第三题， 中山大学应用数学系， 九十二学年度第一学期 （92 年 10 月 17 日公布）。