链轮精度不高会不会影响精度：传统的链轮尺寸测量效率低

文/苏格历史

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链传动是机械系统中一种重要的传动方式，链轮作为链传动中关键部件对传动系统的精度及可靠性有着重要影响。

以汽车发动机的正时系统为例（如图1所示），很多高端车型都将链传动作为正时系统的传动方式。

在正常工况下，正时链轮的转速在6000r/min至8000r/min，为了保证曲轴、凸轮轴及链条等零件的配合，需要严格控制链轮的加工质量，而链轮形状尺寸的高精度测量是确保加工质量的关键环节，其中链轮的齿根圆和齿顶圆直径是链轮的两个重要形状尺寸。

图1 奥迪 EA888 发动机正时传动系统

传统的链轮尺寸测量主要以接触式测量方式为主，采用的测量设备以三坐标测量仪为主，这类方法虽然测量精度较高，但需要将链轮放置在工作台上完成测量，存在效率低、操作复杂，无法实现在线测量的缺点。

随着计算机技术的不断发展及我国对智能制造需求的不断扩大，机器视觉测量技术被广泛的应用及研究。

据对现有链轮及相似零件的视觉测量技术与外参标定技术的分析，在链轮的视觉测量中，很难采用在链轮表面粘贴标定纸或增加专用夹具来保证链轮生产中需要的测量精度及速度。

为了解决链轮测量过程中外参标定及链轮测量精度较低问题，本文提出了新的链轮视觉测量系统及算法。

在视觉系统中，将端面加工有同心圆环的圆柱体作为标定体，通过同心圆环上大、小圆及链轮轮毅孔的直径，利用二次曲线不变量推导出以上并利用方程系数解算出轮毅三个圆弧对应的方程，端面与相机的空间位置关系，即轮毅端面的外参该方法可以在保证外参标定精度的前提下，简化外参标定过程，提高了视觉测量系统的适用性。

在链轮测量算法中，根据对链轮齿廓的形状分析，建立了齿顶和齿根部分对应的最高点及最低点的筛选模型，利用最高点及最低点数组，通过椭圆拟合算法获得被测链轮上齿顶圆和齿根圆对应的直径。

为了适应零件加工现场的要求，提高链轮视觉测量方法的适应性，本文基于单目视觉技术建立了链轮测量视觉系统。在该系统中，为了简化计算及减少投影畸变的影响，以轮毂端面的平行面作为坐标面建立世界坐标系。

在外参标定过程中，将端面加工有同心圆环的圆柱体作为标定体，基于二次曲线不变量分别计算出轮毂孔及圆环上两个圆所对应的方程参数，并以此为条件求解出链轮轮毂端面对应的外参。

1.1基于轮毂端面的世界坐标系建立

在单目视觉系统中，当被测平面与相机成像平面不平行时会出现投影畸变，导致测量精度降低。

为了解决该问题，本文以与轮毂端面平行的平面作为世界坐标的XWOWYW坐标平面，世界坐标系的原点OW与相机的光心OC重合，坐标轴OWZW的正方向垂直指向轮毂端面，世界坐标系的空间位置如图2所示。

图 2基于链轮端面的世界坐标系建立

在图2中，Pi为轮毂孔的边缘点，设该点的世界坐标系为(Xi，Yi，Zi)，O0(X0，Y0，Z0)为轮毂孔中心的世界坐标，Pi与O为孔的边缘点及中心点在图像平面的投影。

设轮毂端面在相机坐标系下的方程为：

与轮毂端面相交的平面方程为：

联立式(1)和式(2)可以获得两平面的交线为轴线的平面束方程：

在以上三式中，AZ、BZ、CZ为链轮端面所在平面的平面方程参数，AV、BV、CV为与链轮端面任意相交平面的平面方程参数，x，y，z代表相机坐标系中三个方向的坐标。

在式（3）所表达的平面束中，存在一个与相机图像平面垂直的平面，即相机坐标系的坐标轴OCZC与该平面垂直，则可以获得以下表达式：

通过式(4)可以获得：

将λ代入式(3)中：

以式(1)和式(5)交线的平行方向为世界坐标系OWYW轴的方向，则OWYW方向向量(AY，BY，CY)的各参数可以表达为：

本文采用边缘检测算法可以获得轮毂孔上边缘点的相机坐标，为了将边缘点的相机坐标变换为世界坐标需要获得旋转矩阵和平移矩阵，且根据世界坐标系的设置方式，平移矩阵为零矩阵，相机坐标系与世界坐标系的旋转矩阵是链轮轮毂端面的外参。

根据在相机坐标系下OWYW轴和OWZW轴的方向向量，可以分别获得两个坐标轴在相机坐标系下的方向余弦：

通过OWYW与OWZW方向向量的叉乘获得OWXW轴的方向向量：

其中：

OWXW轴在相机坐标系下的方向余弦为：

根据OWXW、OWYW和OWZW的方向余弦可以得到相机坐标系与世界坐标系的变换关系：

旋转矩阵R为链轮端面的外参。

1.2基于二次曲线不变量的圆心坐标求解

为了求解链轮轮毂端面的外参，本文将一个端面加工有同心圆环的圆柱体放入链轮的中心孔，圆环端面与轮毂端面平齐，链轮与圆柱体的空间位置如图2所示。

通过相机采集轮毂端面图像，轮毂端面与圆环的成像关系示意图如图3所示，设轮毂上孔的圆心O0的世界坐标为(X0，Y0，0)，圆环的圆心坐标O1的世界坐标为(X1，Y1，0)，世界坐标系的OWYW轴与圆心O0O1平行，链轮中心孔、圆环的大圆和小圆的半径分别为：r0，r1，r2。

图3圆环与链轮轮端面的成像关系

通过透射投影关系，在世界坐标系下以相机的光心作为顶点，与轮毂端面平行的平面作为底面的斜圆锥面方程可以写为：

将上式改写为矩阵：

其中：

根据式(10)，将世界坐标系下的圆锥面方程变换为相机坐标系下的方程：

设在相机成像平面(ZC=1)上轮毂孔的边缘曲线投影的椭圆方程系数mx=[ax，bx，cx，dx，ex，fx]，根据式(13)可以获得投影边缘曲线的椭圆方程的矩阵形式：

根据上式，在图像平面上孔边缘的投影椭圆的方程可以表达为：

其中：

根据曲线不变量理论可知，图像平面上轮毂孔边缘的投影椭圆的不变量可以表达为：

根据以上分析及表达式推导，式(16)不仅是图像平面上轮毂孔边缘的投影椭圆的不变量表达式，也可以作为在图像平面上同心圆环上大圆与小圆边缘的投影椭圆的不变量表达式。

在求解同心圆环上大圆与小圆的圆心坐标时，依旧可以采用式(16)，获得圆环上大、小圆的曲线不变量表达式。

通过式(16)中各椭圆参数的表达式，可以获得以下关系：

由于两个正交向量的点积为0，则：

设圆环上大圆边缘曲线在图像平面上的椭圆方程系数为m1=[a1b1c1d1e1f1]，则椭圆的曲线第一不变量：

由式（17）和式（18)可得：

设圆环上小圆边缘曲线在图像平面上的椭圆方程系数为m2=[a2b2c2d2e2f2]，根据公式(17)，则椭圆的曲线第一不变量：

以上两式中，k1和k2为大圆和小圆的边缘曲线在图像平面上椭圆方程系数与实际椭圆方程系数的比例系数。对式(19)和式(20)进行整理：

以上两式中，k1和k2为大圆和小圆的边缘曲线在图像平面上椭圆方程系数与实际椭圆方程系数的比例系数。对式(19)和式(20)进行整理：

对上式进行求解，可得：

将获得的Z0代入式(19)和式(20)，可以获得比例系数k1和k2。

设k3为链轮中心孔的边缘曲线在图像平面上椭圆方程系数与实际椭圆方程系数的比例系数，则可获得以下关系:

其中，链轮中心孔在图像平面上边缘对应椭圆的第一不变量:

将D1x和已获得的Z0代入式(24)，可得:

如图3所示，根据链轮轮毂孔、圆环圆心的位置，可以获得以下表达式：

通过已知的轮毂孔半径r0，圆环的外圆环半径和内圆环半径r1，r2，以及图像平面上链轮孔边缘、圆环边缘对应的椭圆方程可以利用以上推导过程求解轮毂孔及圆环中心点的世界坐标。

1.3链轮轮毂端面外参求解

根据视觉系统成像模型，图像平面上圆环的大、小圆边缘点的相机坐标可以通过已经标定完成的摄像机内参及边缘点的像素坐标获得，分别利用两个圆上边缘点的摄像机坐标进行椭圆拟合，可以获得图像平面上圆环的大圆和小圆所对应椭圆方程参数。

根据式(16)可以获得：

联立式(27)和式(28)得：

其中:

通过式(29)可以求解外参矩阵参数e13。将结果带入公式(30)，求解出另外两个外参参数e11和e12：

通过该方程无法获得e11，e12，e13唯一的解，其共有四种组合形式。

根据式（16），同心圆环上大、小圆的方程的系数c1和c2可以表达为：

通过式（16）中c1和c2的关系，可以求解获得e23：

将获得的e23代入式(33)，求解e21和e22：

通过该方程依旧无法获得e21，e22，e23唯一的解，其共有四种组合形式。采用上述过程，根据拟合获得的椭圆参数f1和f2的关系，可以通过式(34)求解e31，e32，e33，且获得的解不唯一，存在四种组合形式。

根据对外参参数的求解，世界坐标与摄像机坐标的变换矩阵的解共64组。在64组解中挑选同时满足公式(16)、式(35)的解。

通过以上两式的筛选，可以获得两组外参变换矩阵的解，其中一种解是所有边缘点的世界坐标的Zw都为正，另一组解与之相反，所有边缘点的世界坐标的Zw都为负。

根据世界坐标系的建立模型，所有边缘点的Zw应该都为正，所以可以确定唯一的坐标变换矩阵：

根据国家标准中对链轮标准的规定，链轮齿顶区域的最高点所组成的圆为齿顶圆，链轮齿根区域的最低点所组成的圆为齿根圆。本文将齿廓边缘点投影到与链轮轮毅端面平行的平面，通过椭圆拟合算法获得齿根和齿顶的直径。

在齿根圆和齿顶圆的直径测量过程中，需要获得链轮齿廓边缘点的世界坐标。首先，利用基于拟合法的边缘检测算法获得图像平面上链轮齿廓的像素坐标，通过标定获得的相机内参可以获得边缘点的相机坐标(Xc，Yc，1，根据已获得的世界坐标系与相机坐标系的变换矩阵，可以获得边缘的世界坐标(XW，YW，ZW)T。

图 4 链轮端面与齿廓被测平面的空间关系

如图4所示，世界坐标系中坐标平面XWOWYW为链轮轮毂端面，根据链轮的几何形状，链轮边缘点所在被测平面与轮毂端面平行，但是在Zw轴方向存在一定的差值，设轮毂端面与实际被测平面在的差值Z，且该差值可以通过查阅链轮的生产图纸和测量标准获得，从而链轮齿轮测量平面的ZW坐标：

根据投影关系，链轮齿轮边缘与相机光心（即世界坐标系的原点）的连线方程可以表达为：

求该直线与Z=Z`平面的交点，交点就是被测平面上链轮齿轮实际的边缘点，也是参与椭圆拟合的数据点，这些数据点的坐标可以通过式(38)获得。

由于所有链轮齿廓上的点都在Z=Z`平面上，因此在计算直径的过程中，空间椭圆拟合问题就转化为平面椭圆拟合问题。

2.2链轮齿顶圆、齿根圆拟合数据点筛选及直径求解

在利用链轮齿廓上边缘点获得齿根圆和齿顶圆直径的过程中，首先需要对齿廓上边缘点进行划分，将参加齿根圆和齿顶圆拟合的数据点进行判别。

根据链轮的齿形特征，链轮上每段齿廓都是由齿根圆弧、连接线段及齿顶圆弧三部分组成，为了获得链轮齿顶圆和齿根圆的直径需要获得链轮上每个齿顶部分和齿根部分对应的最高点和最低点，且最高点所组成的数组为齿顶圆拟合的数据点，最低点所组成的数组为齿根圆拟合的数据点。

获得参与齿顶圆和齿根圆拟合的数据点判定算法步骤如下：

Stepl：以任意链轮齿廓的边缘点为起点，按照顺时针或逆时针的顺序计算每个边缘点到轮毂孔圆心的距离，设第i个点对应的距离为d，所有距离组成的距离数组为D，每个边缘点的位置编码数组为E。

Step2：根据被测链轮的尺寸设置齿根最低点及齿顶最高点的判断阈值，对边缘点进行筛选，当边缘点对应的距离大于最高点判别阈值时，保存该边缘点的位置编码，设最高点位置编码数组为Ei。同理当边缘点对应的距离小于最低点判别阈值时，保存该边缘点的位置编码，设最低点位置编码数组为E₂。设最高点判别阈值为δ，最低点判别阈值为&，该过程的流程图如图5所示。

图5链轮最高、最低点筛选流程图 (Sten2)

Step3：由于边缘点的坐标存在误差，无法保证数组E1和E₂中保存的点一定就是最高点或是最低点，还需要根据边缘点的编号进行再次判断。

以寻找链轮最高边缘为例，根据链轮的形状，两个最低点的顺序编码之间必然相差一定的数值，且该数值与链轮上每个齿廓所占像素点的数量有关。

为了保证测量的精度，一般需要每个齿廓最少占20个像素范围。以判断链轮中最高点为例，假设位置编码为j的点为最高点数组E1中的任意点，当数据E₁中没有出现j±4范围内的点，则认为位置编码为j的点就是链轮某个齿的最高点。

反之，当数据Ei中出现了j±4范围内的点，则根据距离数组D中位置编码所对应的距离，将最近距离最大的边缘点所对应的位置编码留在E1中。同理，也可以通过以上方法对链轮齿根边缘所对应的最低点进行筛选。该过程的流程图如图6所示。

图6链轮最高、最低点选流程图(Step3)

在获得齿廓上齿根最低点数组和齿顶最高点数组后，以这两类点的位置为基础，拟合求解链轮齿根圆及齿顶圆的直径。以计算齿根圆的直径为例，设椭圆的一般方程为：

根据代数椭圆拟合可以获方程的参数，通过方程参数可以获得齿根圆的直径：

采用上述的方法也可以获得齿顶圆直径。

虽然代数椭圆拟合可以快速获得椭圆方程的参数及椭圆的直径和圆心等相关参数，但是该方法存在拟合点的集体平移或旋转会带来的拟合形状的变化，且会出现拟合结果为双曲线的情况。

通过本文提出的链轮视觉测量系统及算法对四个链轮的齿根圆和齿顶圆的直径进行测量，并将测量结果与三坐标测量仪的测量结果进行对比，验证本文提出的视觉测量系统及算法的可行性。

3.1链轮测量实验条件

为了对本文提出的测量算法进行验证，将四个不同尺寸的链轮作为被测对象，链轮的齿根圆和齿顶圆的直径利用ZEISS公司制造三坐测量仪(设备型号：SpectrumⅡl7/10/6)获得，该设备的精度为2.4 L/250μm，被测四个链轮的尺寸如表1所示。

图 7 被测链轮

在测量的过程中，将外参标定用的圆柱标定体放入链轮的中心孔内，并将同心圆环的端面与链轮端面重合，标定用的同心圆环直径如表2所示，实验现场图如图8所示，主要实验设备参数如表3所示。

图 8 链轮尺寸测量实验现场图

3.2视觉测量系统标定及亚像素边缘检测算法评价

在测量链轮尺寸前，需要对相机的内参及轮毂端面对应的外参进行标定。

本文在标定相机内参中采用张正友的两步标定法，通过相机采集棋盘格标定板在不同位姿下的12幅图像(见附图1)，利用Matlab软件中的Bougeut工具栏获得棋盘格的角点像素坐标，并最终获得相机的内参及畸变系数，标定参数如表4所示，

本实验所用的标定板，棋盘格角点之间的真实距离为2mm±0.001mm，通过标定世界坐标的建立方法可以获得每个角点对应的世界坐标。

在对相机标定精度评价中，利用标定后获得的参数与棋盘格上各角点的像素坐标获得反投影后的角点世界坐标，并将该世界坐标与角点的真实坐标进行对比，标定误差为5μm。

根据本文提出的链轮轮毂端面外参标定方法，利用放置在链轮中心孔内的圆柱标定体，通过同心圆环获得世界坐标系与相机坐标系的变换矩阵，即每个链轮端面对应的外参，各链轮端面的外参如表5所示。

本文采用基于拟合法的亚像素边缘检测算法获得链轮边缘点的亚像素坐标，将圆点标定板上的圆点直径作为被测尺寸对边缘检测算法的精度进行评价。

图9共面标靶

在实验中，圆点标定板与棋盘格标定通过夹具固定组成共面标靶，并保证两个标定板的表面在同一个平面上，共面标靶如图9所示。

采集共面标靶的图像，利用已经获得的相机内参，可以获得棋盘格标定对应的外参。

圆点标定板上圆点边缘的亚像素坐标通过基于拟合算法的边缘检测算法获得，并通过该共面标靶对应的外参及内参可以获得这些边缘点的相机坐标。为了防止畸变对测量精度的影响，本文采用中心区域的四个圆形作为评价对象，检测结果如图10所示。

图10边缘检测算法评价试验

通过圆边缘点的亚像素坐标和椭圆拟合算法，可以获得每个圆的直径，且该标定板为特制加工，每个圆的直径为3.5±0.005mm，实验结果如表6所示。

通过实验结果可知，本文采用的基于拟合算法的边缘检测算法对于圆弧边缘的检测精度为6μm。

通过以上实验，获得了测量系统中的摄像机内参及链轮端面对应的外参，且本文采用的摄像机标定算法的精度为5μm，基于拟合方法的边缘检测算法对于圆曲线的检测精度为6μm。

3.3链轮尺寸测量实验

根据获得的链轮齿根圆弧最低点以及齿顶圆弧最高点，可以拟合出来链轮的齿根圆和齿顶圆，每个链轮的齿根圆和齿顶圆的拟合效果如图11至14所示。

图 11 齿根圆、齿顶对应边界点及拟合结果 (链轮 1#)

图 12 齿根圆、齿顶圆对应边界点及拟合结果 (链轮 2#

图 13 齿根圆、齿顶圆对应边界点及拟合结果 (链轮 3#)

图 14 齿根圆、齿顶圆对应边界点及拟合结果 (链轮 4#)

利用本文提出的链轮齿根圆与齿顶圆直径测量算法，分别对四个链轮的齿根圆和齿顶圆的直径进行测量，在测量的过程中，不仅采用代数椭圆拟合法获得直径，也通过几何椭圆拟合法获得直径，并且将测量结果与三坐标测量仪的测量结果进行对比，测量精度及测量时间的实验结果如表7、表8、表9及表10所示。

根据实验结果可知，由于1#和4#链轮的齿根圆和齿顶圆参与拟合的数量高于其余两个链轮，在相同的误差前提下，较多的拟合点数量有助于减小齿根圆和齿顶圆直径的测量误差。

相对于代数椭圆拟合算法获得的直径精度，几何椭圆算法的直径测量精度更高，但是代数拟合算法的速度更快(4个链轮的平均测量时间快5.22s)。

通过以上实验，本文对链轮齿顶圆和齿根圆直径的测量误差不高于40μm，满足制造中对链轮形状的测量要求。

齿根圆与齿顶圆的直径是链轮的两个重要尺寸，在分析现有基于视觉技术对链轮及相似零件的测量方法所存在的缺陷后，本文建立了基于单目视觉的链轮测量视觉系统及算法。

在视觉系统中，为了简化计算并减少投影畸变对测量精度的影响，在轮毅端面的平行面上建立世界坐标系；为了提高视觉测量系统的适用性及外参标定效率，本文将端面加工有同心圆环的柱体作为标定体，利用圆环上大、小圆及轮毅孔的半径，通过二次曲线不变性获得每个圆的方程系数，以此为基础获得视觉系统的外参。

在链轮测量算法中，本文通过链轮齿廓形状特征建立齿根圆与齿顶圆拟合点筛选算法，并分别利用齿根圆和齿顶圆上的数据点通过椭圆拟合获得相应的直径。

在实验中，本文采用四个不同尺寸的链轮作为被测物，采用本文提出的视觉系统获得每个链轮轮毅端面对应的外参，并通过测量算法获得齿根圆及齿顶圆的直径。

根据测量结果表明，本文算法获得的齿根圆及齿顶圆直径的测量误差不超过40um，与现有链轮及相似零件的视觉测量算法相比具有较好的测量精度，在机械加工中，本文的算法具有一定的适用性。

参考文献

[1]孟繁忠.链条链轮产品设计与检验[M].北京：机械工业出版社，1996.

[2]谭庆昌，赵洪志.机械设计[M].北京：高等教育出版社，2008.

[3]张国雄.三坐标测量机[M].天津：天津大学出版社，1999.