解三角形专题100题：打破几何规则，不可能的三角形

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几个世纪以来，各种可能的形状以其令人费解的幻觉和具有欺骗性的外观吸引了人们的想象力。这些以不一致的方式形成的形状会产生一种怪异的视觉错觉，可以诱使大脑感知虚假的现实。它们不仅在美学上引人入胜，而且还为了解人类思维的运作方式及其感知视觉信息的方式提供了一个窗口。

在本文中，我们将深入探索不可能的形状世界，并揭示是什么让它们如此迷人和神秘。

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彭罗斯三角形或不可能三角形（Penrose tribar）最早由瑞典艺术家Oscar Reutersvärd于1934年设计，他也被誉为“不可能图形之父”。他在 18 岁那年在拉丁语课上随意画画时创作了这幅画。

这个三角形在 1950 年代获得了更广泛的关注，当时精神病学家莱昂内尔·彭罗斯（Lionel Penrose，1898-1972 年）和他的儿子罗杰·彭罗斯爵士（现在是著名的诺贝尔奖获得者数学家）独立地将其表述为“纯粹不可能”。”

他们于1958年在英国心理学杂志上发表了一篇题为“不可能的物体：一种特殊类型的视觉错觉”的论文。此外，荷兰图形艺术家MC埃舍尔（1898-1972）的作品中也出现了具有不可能几何形状的物体。

根据维基词典，彭罗斯三角形定义为：

“一种光学错觉，描绘了一个不可能的固体物体，它由三根正方形横截面的直光束组成，它们在它们形成的三角形的顶点成对地成直角相交。”

因此，线条的连接方式是为了说明不可能。为了使这些形状存在，必须违反欧几里德几何规则。

观察上图，你可以看到三角形的右边向远离你的方向延伸，左边向你延伸。然而，它们连接到同一个矩形条并出现在同一平面上。

这种错觉是通过仔细操纵我们的大脑感知视角和深度的方式而产生的，使它看起来好像三角形具有不可能的特征，例如会聚到一个点的顶点。

彭罗斯三角已成为感知能力和人类理解极限的象征，启发着艺术家和数学家。

彭罗斯在 1954 年参加了埃舍尔的讲座，并感到有动力去说明这个概念。后来，埃舍尔以彭罗斯三角效应为灵感，创作了著名的不可能构造的“瀑布 石版画”。

图：2这幅石版画具有带有两个 Pensore 三角形的水道结构。渡槽始于水车，观察者感觉它好像向上倾斜。渡槽瀑布的循环在这里是不可能的循环。两座塔的顶部也有多面体，显示埃舍尔对数学的兴趣。

基于类似的概念，还可以构造另一种不可能的形状，称为不可能/非理性立方体。

图：3不可能的立方体

立方体的各个部分似乎同时在前面和后面，这在几何上是不可能的。

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图：4彭罗斯楼梯

彭罗斯楼梯或不可能的楼梯是一种永无止境的台阶风，在一个方向上升，然后在另一个方向下降，依此类推。

乍一看，它让人想知道它是如何工作的。但是当我们旋转物体并看到另一面时，幻觉就不再存在了。

彭罗斯发表的论文也包括对不可能的楼梯的描述。该结构“代表一系列步骤是可以接受的，但连接使得图片作为一个整体不一致”。

两年后的 1960 年， MC Escher 在他的平版印刷作品“上升和下降”中创造了不可能的楼梯图像。

彭罗斯在他们的论文中引用了埃舍尔的作品作为建造不可能的楼梯的灵感，并将他们的论文副本转发给了埃舍尔。埃舍尔适时回应：

“几个月前，我的一个朋友给我发了一份你文章的复印件……你的数字 3 和 4，‘连续飞行的台阶’，对我来说是全新的，我被他们最近启发的想法所吸引我想制作一张新照片，我想把它寄给你，以表我的敬意。”

尽管 Oscar Reutersvärd 于 1937 年首次创作了不可能的楼梯插图，但 Penrose 和 Escher 对此并不熟悉。

图： Oscar Reutersvärd 绘制的 5 Impossible staircies

彭罗斯楼梯简直是一个不可能的数字，因为如果一个人要完成一个楼梯的循环，即使楼梯的每一步不断上升或下降，一个人也会在同一水平上再次结束，这取决于顺时针或逆时针方向.

图：6 MC Escher 的“上升和下降”石版画。该图中的楼梯自相矛盾地上升，同时沿圆的一个方向移动，而在沿另一个方向移动时下降。还有一个最终会达到同一水平。

图：7 MC Escher 的“ Belvedere ”石版画。这幅画包括 3 个不可能的方面。首先，观察柱子的不可能排列（它们从顶部开始到底部结束的方式）。其次，观察楼梯的不可能定位（它的起点和终点在同一水平面上，但有一点坡度）。最后，请注意建筑物外长凳上的那个人，手里拿着不可能的立方体。

不可能的楼梯的概念已经应用到许多领域，例如计算机图形和动画，它已被用来创建具有挑战性和视觉上令人惊叹的效果。

Penrose steps/staircase（无限楼梯）的概念也在 2010 年由 Christopher Nolan Inception执导的动作/科幻电影中出现。此外，在 1998 年的电影The Avengers 中，楼梯被用来展示时间循环和重复，看到一个人走下楼梯只是为了结束在同一个地方。

此外，《纪念碑谷》是一款由Ustwo Games开发的视频游戏，于 2014 年 4 月发布，基于视错觉和不可能的人物网络。

图：8游戏纪念碑谷中不可能的几何

不可能的形状的故事和 MC Escher 的作品展示了人们对挑战他们的看法和突破他们认为可能的极限的持久迷恋。

这些艺术品揭示了人类对创造力和非凡性的无尽痴迷。这些插图也可以让我们意识到我们自己的感知和观察与其他人对同一事物的看法是狭隘的或不同的。

1. 不可能的物体：LS Penrose 和 R. Penrose 的一种特殊类型的视觉错觉，DOI：10.1111/j.2044–8295.1958.tb00634.x
2. F. 麦克弗森 (2010)。不可能的数字。在 EB Goldstein（主编），感知百科全书。加利福尼亚州千橡市：SAGE Publications, Inc. DOI：10.4135/9781412972000.n155