聚点定理有几种证明方法，聚点定理证明单调有界定理

证明:

首先，聚点定理指的是实轴上任一有界无限点集S至少有一个聚点。

任取单调有界数列{an},不妨设an单调递增且n充分大时各项互异.

根据聚点定理,有界无限集合{an}存在聚点a0。

任取e>0,存在n0,使得|an0-a0|<e。

假设存在n1>n0使得|an1-a0|>e,则

an1>a0 e或者an1<a0-e,后者与单调性矛盾.

而如果前者成立的话,则根据单调性,任取n>n1,|an-a0|>e,

则{an}只有有限项在a0的邻域N(a0,e)中,这和a0是聚点矛盾.

所以假设不成立,即任取n>n0,|an-a0|<e

即an存在极限a0。

这个证明的意思很简单：

上图中，假设A是聚点，则A的邻域内必存在xn的无穷多项，由这一点出发即可得到结论。