双曲函数之间转换公式，双曲函数和反双曲函数

初等函数

基本初等函数总共有五类：

冥函数: y=x^u(u∈R)。

指数函数: y = a^x (a > 0且a≠1)。

对数函数：y=㏒(x) (a > 0且a≠1, 特别当a =e的时候，记为y=ln(x) )。

三角函数: 如y=sin(x), y=cos(x), y=tan(x)等。

反三角函数：若y=arcsin(x), y=arccos(x), y=arctan(x)等。

以上者五类函数统称为基本初等函数。

由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数，例如：

y=√(1-x²), y=sin²x, y=sin(x) cos(x), y=sin(x) * cos(x)等等都是初等函数。

应用上常遇到一e为底的指数函数y=e^x和y=e^(-x)所产生的双曲函数以及他们的反函数(反双曲函数)。他们的定义如下：

双曲正弦 sh(x) = (e^x - e^(-x)) / 2。

双曲余弦 ch(x)=(e^x e^(-x)) / 2。

双曲正切 th(x) = sh(x) / ch(x) = (e^x - e^(-x)) / (e^x e^(-x))

这三个双曲函数的简单性质如下：

双曲正弦的定义域为(-∞, ∞), 他是奇函数，他的图像通过原点且关于原点对称，在区间 (-∞, ∞)内它是单调增加的，当x的绝对值很大时，它的图形在第一象限接近曲线y=(1/2) *(e^x), 在第三象限内接近于曲线y=-(1/2) *(e^-x),

双曲余弦的定义域为(-∞, ∞), 他是偶函数，他的图像通过点(0, 1)且关于y轴对称，在区间(-∞, 0)内他单调减少，在区间(0, ∞)内他是单调增加。ch(0) = 1是这个函数的最小值。当x的绝对值很大时，他的图形在第一象限内接近于曲线y=(1/2) *(e^x)， 在第二象限内接近于曲线y=(1/2) *(e^-x)。

双曲正切的定义域为(-∞, ∞), 他是奇函数，他的图像通过原点且关于原点对称，在区间 (-∞, ∞)内它是单调增加的， 它的图形夹在水平直线y=1及y=-1之间，且当x的绝对值很大时， 它的图形在第一象限接近于直线y=1, 而在第三象限内接近于直线y=-1。

证明：

sh(x y) = sh(x) * ch(y) ch(x) * sh (y)。

、

ch(x y)=ch(x)ch(y) sh(x)sh(y)

除了上面的公式外，还有如下公式，就不一一证明了。

sh(x-y) = sh(x)ch(y) - ch(x)sh(y).

ch(x-y)=ch(x)ch（y）-sh(x)sh(y).

ch²x - sh²x = 1.

sh(2x)=2sh(x)ch(x).

ch(2x) = ch²x sh²x.

双曲函数的反函数为：

y=sh(x) 反函数：y=arsh(x)

y=ch(x) 反函数：y=arch(x)

y=th(x) 反函数：y=arth(x)

这些反双曲函数都可以通过自然对数函数来表示，分别讨论如下：

y=sh(x) => x=sh(y) => x= (e^y - e^(-y)) / 2 令u=e^y, 则由上式有u^2 - 2 * x * u - 1= 0

这是关于u的一个二次方程，他的根为u=x±√(x² 1)。因为u=e^y>0, 故上式根号前赢取正号，于是u=x √(x² 1), 由于y=ln(u), 故反双曲正弦y=arsh(x) = ln(x √(x² 1))。

函数y=arsh(x)的定义域为(-∞, ∞)，它是奇函数，在区间(-∞, ∞)内为单调增加，由y=sh(x)的图形，根据反函数的作图法，可得y=arsh(x)的图形如下图所示。

类似地双曲余弦的反函数y=arch(x)=ln(x √(x²-1),定义域为[1, ∞), 图形如下：

双曲正切的反函数y=arth(x) = (1/2) * ln((1 x)/(1-x))。定义域为(-1, 1), 图形如下：

f(x) = |x|, g(x) = 1 / x, 求f / g。

f / g = |x| * x , 当x >= 0的时候为x², 当x<0的时候为-x²