高三学生的月考有助于检验复习效果，考生一定要加以重视。今天，小编为大家整理了高三数学月考试题。
高三数学月考试题一、选择题
本大题共有12道小题，每小题5分，共60分
1.已知集合 , ,则B
A. B. C. D.
2. 下列函数中既是奇函数，又在 上单调递增的是C
A. B. C. D.
3. 给出两个命题:命题 命题“存在 ”的否定是“任意 ”;命题 ：函数 是奇函数. 则下列命题是真命题的是 C
A. B. C. D.
4.若函数fx=x2-ax- a在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a等于 D
A.-1 B.1 C.-2 D. 2
5 已知函数 是函数 的导函数，则 的图象大致是 A
A. B. C. D.
6.已知命题p：x2+2x-3>0;命题q：x>a，且 的一个充分不必要条件是 ，则a的取值范围是 B
A.-∞，1]B.[1，+∞ C.[-1，+∞D.-∞，-3]
7.7. 已知函数fx=mx2+m-3x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是 B
A.0，2 B.-∞，1] C.-∞，1 D.0，2]
8.若fx=ax，x>1，4-a2x+2，x≤1是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为C
A.1，+∞ B.4，8 C.[4，8 D.1，8
9. 已知函数y=fx是定义在R上的偶函数，且当 时，不等式 成立，若a=30.2 f30.2，b= logπ2 flogπ2， c= f ，则 ， ， 间的大小关系 A
A. B. C. D.
10. 已知函数fx是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞上单调递增.若实数a满足f +f ≤2f2，则a的取值范围是D
A.-∞，4] B. 0，4] C. D.
11.文已知 是奇函数，则A
A..14 B. 12 C. 10 D.-8
11. 理若函数 的大小关系是 C
A. B.
C. D.不确定
12.已知函数y=fx为奇函数，且 对定义域内的任意x都有f1+x=-f1-x.当x∈2，3时，fx=log2x-1.给出以下4个结论：其中所有正确结论的为A
①函数y=fx的图象关于点k，0k∈Z成中心对称;
②函数y=|fx|是以2为周期的周期函数;
③函数y=f|x|在k，k+1k∈Z上单调递增;
④当x∈-1，0时，fx=-log21-x.
A.①②④ B.②③ C.①④ D.①②③④
高三数学月考试题二、填空题
本大题共有4道小题，每小题5分,共20分
13.已知实数 满足 则 的最大值__-4_______
14. 已知 ，则函数 在点 处的切线 与坐标轴围成的三角形面积为 .
15. 若函数满足 且 时， ,函数 ,则函数 在区间 内零点的个数有__12_个.
16. 存在区间，使得 ，
则称区间 为函数 的一个“稳定区间”.给出下列4 个函数：
① ;② ;③ ; ④
其中存在“ 稳定区间”的函数有②__③_ .把所有正确的序号都填上
高三数学月考试题三、解答题
本大题共有5道小题，每小题12分,共60分
17.本小题满分12分
设向量 ， ，其中 ， ，函数
的图象在 轴右侧的第一个最高点即函数取得最大值的点为 ，在原点右侧与 轴的第一个交点为 .
Ⅰ求函数 的表达式;
Ⅱ在 中，角A，B，C的对边分别是 ，若 ，
且 ，求边长 .
解：解：I因为 ， -----------------------------1分
由题意 ， -----------------------------3分
将点 代入 ，得 ，
所以 ，又因为 -------------------5分
即函数的表达式为 . --- ------------------6分
II由 ，即
又 ------------------------8分
由 ，知 ，
所以 -----------------10分
由余弦定理知
所以 ----------------------------------- -----------------12分
18.文本小题满分12分为了解某市的交通状况，现对其6条道路进行评估，得分分别为：5,6,7,8,9,10.规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表：
评估的平均得分
全市的总体交通状况等级 不合格 合格 优秀
Ⅰ求本次评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级;
Ⅱ用简单随机抽样方法从这6条道路中抽取2条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.
【解析】：
Ⅰ6条道路的平均得分为 .-----------------3分
∴该市的总体交通状况等级为合格. -----------------5分
Ⅱ设 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 ”. -----7分
从 条道路中抽取 条的得分组成的所有基本事件为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 个基本事件. -----------------9分
事件 包括 ， ， ， ， ， ， 共 个基本事件，
∴ .
答：该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 的概率为 .------12分
18.理本小题满分l 2分
在2015年全国高校自主招生考试中，某高校设 计了一个面试考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立回答全部问题.规定：至少正确回答其中2题的便可通过.已知6道备选题中考生甲有4题能正确回答，2题不能回答;考生乙每题正确回答的概率都为23，且每题正确回答与否互不影响.
I分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列，并计算其数学期望;
II试用统计知识分析比较两考生的通过能力.
解析：I设考生甲、乙正确回答的题目个数分别为ξ、η，则ξ的可能取值为1，2，3，Pξ=1=C14C22C36=15 ，Pξ=2=C24C12C36=35，Pξ=3=C34C02C36=15，
∴考生甲正确完成题数的 分布列为
ξ 1 2 3
P 15
35
15
Eξ=1×15+2×35+3×15=2. ………………………………………..4分
又η～B3，23，其分布列为Pη=k=Ck3•23k•133-k，k=0，1，2，3;
∴Eη=np=3×23=2. ………………………………………6分
II∵Dξ=2-12×15+2-22×35+2-32×15=25，
Dη=npq=3×23×13=23， ∴Dξ
∵Pξ≥2=35+15=0.8，Pη≥2=1227+827≈0.74，∴Pξ≥2>Pη≥2. ………………10分
从回答对题数的数学期望考查，两人水平相当;从回答对题数的方差考查，甲较稳定;从至少完成2题的概率考查，甲获得通过的可能性大.因此可以判断甲的实验通过能力较强.………………12分
19理在四棱锥 中， 平面 ， 是 的中点，
, , .
Ⅰ求证： ;
Ⅱ求二面角 的余弦值.
解：Ⅰ取 的中点 ,连接 , ,
则 ∥ .
因为
所以 .………………………………1分
因为 平面 ， 平面
所以
又
所以 ⊥平面 ……………………………………………………………3分
因为 平面 ,所以 ⊥ ;
又 ∥ ，所以 ;
又因为 , ;
所以 ⊥平面 ……………………………………………………………5分
因为 平面 ，所以 …………………… ……6分
注：也可建系用向量证明
Ⅱ以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 .
则 , , ， , ,
， .
………………………………………………8分
设平面 的法向量为 ，则 所以
令 .所以 . ……………………9分
由Ⅰ知 ⊥平面 , 平面 ,所以 ⊥ .
同理 ⊥ .所以 平面
所以平面 的一个法向量 . …………………10分
所以 ， ……………………11分
由图可知，二面角 为锐角，
所以二面角 的余弦值为 . ……………………12分
19.文在四棱锥 中， 平面 ，
是 的中点， ,
， .
Ⅰ求证： ∥平面 ;
Ⅱ求证： .
证明：Ⅰ取 的中点 ,连接 , .
则有 ∥ .
因为 平面 ， 平面
所以 ∥平面 .……………………2分
由题意知 ,
所以 ∥ .
同理 ∥平面 .…………………4分
又因为 平面 , 平面 ,
所以 平面 ∥平面 .
因为 平面
所以 ∥平面 . ……………………………………………………………6分
Ⅱ取 的中点 ,连接 , ,则 ∥ .
因为 ,所以 .………………………………… ……7分
因为 平面 ， 平面 ，所以
又
所以 ⊥平面 ……………………………………………………………9分
因为 平面 所以 ⊥
又 ∥ ，所以
又因为 ,
所以 ⊥平面 ……………………………………………………………11分
因为 平面
所以 ………………………………………………………………12分
20. 本小题满分12分 已知椭圆 的离心率为 ，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 相切..
Ⅰ求椭圆C的标准方程;
Ⅱ若直线 与椭圆C相交于A、B两点，且 ，判断△AOB的面积是否为定值?若为定值，求出定值;若不为定值，说明理由.
【解析】：
1由题意知 ，∴ ，即 ，
又 ，∴ ，
故椭圆的方程为 4分
II设 ，由 得
12分
21.文已知函数 ，其中a∈R.
1当 时，求曲线 在点 处的切线的斜率;
2当 时，求函数 的单调区间与极值.
解：1当a=0时，fx=x2ex，f′x=x2+2xex，故f′1=3e.
所以曲线y=fx在点1，f1处的切线的斜率为3e. …4分
2f′x=[x2+a+2x-2a2+4a] ex
令f′x=0，解得x=-2a，或x=a-2， …6分
由a≠23知，-2a≠a-2.
以下分两种情况讨论：
①若a>23，则-2a
x -∞，-2a -2a -2a，a-2 a-2 a-2，+∞
f′x + 0 - 0 +
fx 极大值 极小值
所以fx在-∞，-2a，a-2，+∞上是增函数，在-2a，a-2上是减函数.
函数fx在x=-2a处取得极大值为f-2a，且f-2a=3ae-2a.
函数fx在x=a-2处取得极小值为fa-2，且fa-2=4-3aea-2. …9分
②若a<23，则-2a>a-2，当x变化时，f′x，fx的变化情况如下表：
x -∞，a-2 a-2 a-2，-2a -2a -2a，+∞
f′x + 0 - 0 +
fx 极大值 极小值
所以fx在-∞，a-2，-2a，+∞上是增函数，在a-2，-2a上是减函数.
函数fx在x=a-2处取得极大值fa-2，且fa-2=4-3aea-2.
函数fx在x=-2a处取得极小值f-2a，且f-2a=3ae-2a. …12分
21. 理已知函数.
1 当 时，证明：在 上， ;
2求证： .
解：1 根据题意知，f′x=a1-xx x>0，
当a>0时，fx的单调递增区间为0,1]，单调递减区间为1，+∞;
当a<0时，fx的单调递增区间为1，+∞，单调递减区间为0,1];
当a=0时，fx不是 单调函数.
所以a=-1时，f x=-ln x+x-3， 在1，+∞上单调递增，
所以fx>f1 ，
即fx>-2，所以fx+2>0. …………6分
2 由1得-ln x+x-3+2>0，即-ln x+x-1> 0，
所以ln x
则有0
∴ln 22•ln 33•ln 44•…•ln nn < 12•23•34•…•n-1n=1nn≥2，n∈N*. …12分
高三数学月考试题四、选考题
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.
22.本小题满分10分选修4-1：几何证明选讲
直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.⊙O交直线OB于E，D，连接EC，CD.
Ⅰ 求证：直线AB是⊙O的切线;
Ⅱ若tan∠CED=12，⊙O的半径为3，求OA的长.
解：1证明：连接OC，∵OA=OB，CA=CB，∴OC⊥OB，又∵OC是圆的半径，∴AB是圆的切线. ……4分
2∵ED是直径，∴∠ECD=90°，∴∠E+∠EDC=90°，
又∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，∴∠BCD=∠E，又∠CBD=∠EBC，
∴△BCD∽△BEC，∴BCBE=BDBC⇒BC2=BD•BE，
又tan∠CED=CDEC=12，△BCD∽△BEC，BDBC=CDEC=12，
设BD=x，则BC=2x，∵BC2=BD•BE，∴2x2=xx+6，∴BD=2，
∴OA=OB=BD+OD=2+3=5. ……10分
23.本题满分10分选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线 t为参数，为参 数.
Ⅰ化 ， 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;
Ⅱ过曲线 的左顶点且倾斜角为 的直线 交曲线 于 两点，求 .
解：⑴
曲线 为圆心是 ，半径是1的圆.
曲线 为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆.……4分
⑵曲线 的左顶点为 ，则直线 的参数方程为为参数
将其代入曲线 整理可得： ，设 对应参数分别为 ，则
所以 ……………10分
24.本小题满分10分选 修4—5：不等式选讲
已知函数 ，且 的解集为 .
Ⅰ求 的值;
Ⅱ若 ，且 ，求证： .
解：Ⅰ因为 ，所以 等价于 ，…2分
由 有解，得 ，且其解集为 . …4分
又 的解集为 ，故 .…5分
Ⅱ由Ⅰ知
，又 ， …7分∴ ≥ =9.9分
或展开运用基本不等式
∴ ….10分
