完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础,完全平方公式也是初三数学的一个重要知识点。如何让学生更好地掌握这个知识点?以下是小编为你整理的,希望能帮到你。
《完全平方公式》教学设计
一、情境导入
计算:
1x+12; 2x-12;
3a+b2; 4a-b2.
由上述计算,你发现了什么结论?
二、合作探究
探究点:完全平方公式
【类型一】 直接运用完全平方公式进行计算
利用完全平方公式计算:
15-a2;
2-3m-4n2;
3-3a+b2.
解析:直接运用完全平方公式进行计算即可.
解:15-a2=25-10a+a2;
2-3m-4n2=9m2+24mn+16n2;
3-3a+b2=9a2-6ab+b2.
方法总结:完全平方公式:a±b2=a2±2ab+b2.可巧记为“首平方,末平方,首末两倍中间放”.
【类型二】 构造完全平方式
如果36x2+m+1xy+25y2是一个完全平方式,求m的值.
解析:先根据两平方项确定出这两个数,再根据完全平方公式确定m的值.
解:∵36x2+m+1xy+25y2=6x2+m+1xy+5y2,∴m+1xy=±2?6x?5y,∴m+1=±60,∴m=59或-61.
方法总结:两数的平方和加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式.注意积的2倍的符号,避免漏解.
【类型三】 运用完全平方公式进行简便计算
利用完全平方公式计算:
1992; 21022.
解析:1把99写成100-1的形式,然后利用完全平方公式展开计算.2可把102分成100+2,然后根据完全平方公式计算.
解:1992=100-12=1002-2×100+12=10000-200+1=9801;
21022=100+22=1002+2×100×2+4=10404.
方法总结:利用完全平方公式计算一个数的平方时,先把这个数写成整十或整百的数与另一个数的和或差,然后根据完全平方公式展开计算.
【类型四】 灵活运用完全平方公式求代数式的值
若x+y2=9,且x-y2=1.
1求1x2+1y2的值;
2求x2+1y2+1的值.
解析:1先去括号,再整体代入即可求出答案;2先变形,再整体代入,即可求出答案.
解:1∵x+y2=9,x-y2=1,∴x2+2xy+y2=9,x2-2xy+y2=1,4xy=9-1=8,∴xy=2,∴1x2+1y2=x2+y2x2y2=x+y2-2xyx2y2=9-2×222=54;
2∵x+y2=9,xy=2,∴x2+1y2+1=x2y2+y2+x2+1=x2y2+x+y2-2xy+1=22+9-2×2+1=10.
方法总结:所求的展开式中都含有xy或x+y时,我们可以把它们看作一个整体代入到需要求值的代数式中,整体求解.
【类型五】 完全平方公式的几何背景
我们已经接触了很多代数恒等式,知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式.例如图甲可以用来解释a+b2-a-b2=4ab.那么通过图乙面积的计算,验证了一个恒等式,此等式是
A.a2-b2=a+ba-b
B.a-ba+2b=a2+ab-2b2
C.a-b2=a2-2ab+b2
D.a+b2=a2+2ab+b2
解析:空白部分的面积为a-b2,还可以表示为a2-2ab+b2,所以,此等式是a-b2=a2-2ab+b2.故选C.
方法总结:通过几何图形面积之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释.
【类型六】 与完全平方公式有关的探究问题
下表为杨辉三角系数表,它的作用是指导读者按规律写出形如a+bnn为正整数展开式的系数,请你仔细观察下表中的规律,填出a+b6展开式中所缺的系数.
a+b1=a+b,
a+b2=a2+2ab+b2,
a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3,
则a+b6=a6+6a5b+15a4b2+________a3b3+15a2b4+6ab5+b6.
解析:由a+b1=a+b,a+b2=a2+2ab+b2,a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3可得a+bn的各项展开式的系数除首尾两项都是1外,其余各项系数都等于a+bn-1的相邻两个系数的和,由此可得a+b4的各项系数依次为1、4、、1;a+b5的各项系数依次为1、5、10、10、5、1;因此a+b6的系数分别为1、6、15、20、15、6、1,故填20.
方法总结:对于规律探究题,读懂题意并根据所给的式子寻找规律,是快速解题的关键.
三、板书设计
1.完全平方公式
两个数的和或差的平方,等于这两个数的平方和加或减这两个数乘积的2倍.
a+b2=a2+2ab+b2;a-b2=a2-2ab+b2.
2.完全平方公式的运用
本节课通过多项式乘法推导出完全平方公式,让学生自己总结出完全平方公式的特征,注意不要出现如下错误:a+b2=a2+b2,a-b2=a2-b2.为帮助学生记忆完全平方公式,可采用如下口诀:首平方,尾平方,乘积两倍在中央.教学中,教师可通过判断正误等习题强化学生对完全平方公式的理解记忆。
《完全平方公式》知识点总结
1.完全平方公式:
完全平方有三项,首尾符号是同乡,首平方、尾平方,首尾二倍放中央;
首尾括号带平方,尾项符号随中央。
2.因式分解:
一提公因式二套公式三分组,细看几项不离谱,
两项只用平方差,三项十字相乘法,阵法熟练不马虎,
四项仔细看清楚,若有三个平方数项,
就用一三来分组,否则二二去分组,
五项、六项更多项,二三、三三试分组,
以上若都行不通,拆项、添项看清楚。
3.单项式运算:
加、减、乘、除、乘开方,三级运算分得清,
系数进行同级运算,指数运算降级进行。
4.一元一次不等式解题的一般步骤:
去分母、去括号,移项时候要变号,同类项合并好,再把系数来除掉,
两边除以负数时,不等号改向别忘了。
5.一元一次不等式组的解集:
大大取较大,小小取较小,小大、大小取中间,大小、小大无处找。
一元二次不等式、一元一次绝对值不等式的解集:
大鱼于吃取两边,小鱼于吃取中间。