第一篇：
就是说当点x,y落在以x0,y0点附近的一个小圈圈内的时候，fx,y与a的差的绝对值会灰常灰常的接近。那么就说fx,y在x0,y0点的极限为a
关于二重极限的定义，各类数学教材中有各种不同的表述，归纳起来主要有以下三种：定义1设函数在点的某一邻域内有定义点可以除外，如果对于任意给定的正数。，总存在正数，使得对于所论邻域内适合不等式的一切点px，y所对应的函数值都满足不等式那末，常数a就称为函数当时的极限.定义2设函数的定义域为是平面上一点，函数在点儿的任一邻域中除见外，总有异于凡的属于d的点，若对于任意给定的正数。，总存在正数a，使得对d内适合不等式0<户几卜8的一切点p，有不等式vp一周<。成立，则称a为函数人p当p～p。时的极限.定义3设函数x一人工，”的定义域为d，点产人工。，人是d的聚点，如果对于任意给定的正数。，总存在正数8，使得对于适合不等式的一切点px，…ed，都有成立，则称a为函数当时的极限.以上三种定义的差异主要在于对函数的前提假设不尽相同.定义1要求人x，…在点p入x。，汕的某去心邻域内有定义，而定义2允许人工，y在点p。x。，入的任一去心邻域内都有使人x，y无定义的点，相应地，定义i要求见的去心邻域内的点p都适合/p一a卜
利用极限存在准则证明：
1当x趋近于正无穷时，inx/x^2的极限为0;
2证明数列{xn}，其中a>0，xo>0,xn=/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。
1用夹逼准则:
x大于1时,lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0
且lnx1,lnx/x^2<x-1/x^2.而x-1/x^2极限为0
故inx/x^2的极限为0
2用单调有界数列收敛:
分三种情况,x0=√a时,显然极限为√a
x0>√a时,xn-xn-1=/2<0,单调递减
且xn=/2>√a,√a为数列下界,则极限存在.
设数列极限为a,xn和xn-1极限都为a.
对原始两边求极限得a=/2.解得a=√a
同理可求x0<√a时,极限亦为√a
综上,数列极限存在,且为√
一时函数的极限：
以时和为例引入.
介绍符号:的意义,的直观意义.
定义和.
几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.
例1验证例2验证例3验证证……
二时函数的极限：
由考虑时的极限引入.
定义函数极限的“”定义.
几何意义.
用定义验证函数极限的基本思路.
例4验证例5验证例6验证证由=
为使需有为使需有于是,倘限制,就有
例7验证例8验证类似有三单侧极限:
1.定义：单侧极限的定义及记法.
几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.
例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:
th类似有:例10证明:极限不存在.
例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有
=§2函数极限的性质3学时
教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点：函数极限的性质及其计算。
教学难点：函数极限性质证明及其应用。
教学方法：讲练结合。
一、组织教学：
我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.
二、讲授新课：
一函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.
1.唯一性:
2.局部有界性:
3.局部保号性:
4.单调性不等式性质:
th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=现证对有
註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.
5.迫敛性:
6.四则运算性质:只证“+”和“”
二利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：
注意前四个极限中极限就是函数值
这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.
利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.
例1利用极限和
例2例3註:关于的有理分式当时的极限.
例4
例5例6例7
第二篇：证明二重极限不存在
证明二重极限不存在
如何判断二重极限即二元函数极限不存在,是二元函数这一节的难点,在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论,只是略谈一下在判断二重极限不存在时,一个值得注意的问题。由二重极限的定义知,要讨论limx→x0y→y0fx,y不存在,通常的方法是:找几条通过或趋于定点x0,y0的特殊曲线,如果动点x,y沿这些曲线趋于x0,y0时,fx,y趋于不同的值,则可判定二重极限limx→x0y→y0fx,y不存在,这一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲线时,是有一定技巧的,不过不管找哪条曲线,这条曲线一定要经过x0,y0,并且定点是这条曲线的非孤立点,这一点很容易疏忽大意,特别是为图方便,对于型如limx→x0y→y0fx,ygx,y的极限,在判断其不存在时,不少人找的曲线是fx,y-gx,y=0,这样做就很容易出错。例如,容易知道limx→0y→0x+yx2+y2=0,但是若沿曲线x2y-x2+y2=0→0,0时,所得的结论就不同这时fx,y→1。为什么会出现这种情况呢?仔细分析一下就不难得到答案
2
若用沿曲线，，y一g，y=0趋近于，y0来讨论，一0g，y。。可能会出现错误，只有证明了，不是孤立点后才不会出错。o13a1673-387820140l__0l02__02如何判断二重极限即二元函数极限不存在。是二元函数这一节的难点，在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论。只是略谈一下在判断二重极限不存在时。一个值得注意的问题。由二重极限的定义知，要讨论limfx，y不存在，通常x—’10y—’y0的方法是：找几条通过或趋于定点xo，yo的特殊曲线，如果动点x，y沿这些曲线趋于xo，y。时，fx，y趋于不同的值，则可判定二重极限limfx，y不存在，这一方i—’10r’y0法一般人都能掌握，但是在找一些特殊曲线时，是有一定技巧的，不过不管找哪条曲线，这条曲线一定要经过xo，y。，并且定点是这条曲线的非孤立点，这一点很容易疏忽大意，特别是为图方便，对于型如2的极限，在判卜’iogx，yy—·y0断其不存在时，不少人找的曲线是fx，y一gx，y：0，这样做就很容易出错。
3
当沿曲线y=-x+x^2趋于00时，极限为lim-x^2+x^3/x^2=-1;
当沿直线y=x趋于00时，极限为limx^2/2x=0。故极限不存在。
4
x-y+x^2+y^2
fx,y=————————
x+y
它的累次极限存在：
x-y+x^2+y^2
limlim————————=-1
y->0x->0x+y
x-y+x^2+y^2
limlim————————=1
x->0y->0x+y
当沿斜率不同的直线y=mx,x,y->0,0时，易证极限不同，所以它的二重极限不存在。
第三篇：用极限定义证明极限
例1、用数列极限定义证明：limn?2?0 nn2?7
n?2时n?212n22nn?223244|2?0|?2?2?2? nn?7n?7n?7n?nn?1n?n
2
上面的系列式子要想成立，需要第一个等号和不等号（1）、（2）、（3）均成立方可。第一个等号成立的条件是n>2；不等号（1）成立的条件是2<n；不等号（2）成立的条件是7<n；
n4，即n>2；不等号（4）成立的条件是n?[]，故取n=max{7, 2?
44[]}。这样当n>n时，有n>7，n?[]。
4 因为n>7,所以等号第一个等号、不等式（1）、（2）、（3）能成立；因为n?[]，所以不等号（3）成立的条件是1
|不等式（4）能成立，因此当n>n时，上述系列不等式均成立，亦即当n>n时，
在这个例题中，大量使用了把一个数字放大为n或n?2?0|。 n2?7n的方法，因此，对于具体的数，．．．．．．．2
可把它放大为（k为大于零的常数）的形式 ．．．．．．kn．．．．．．．．．．．．．．．
n?4?0 nn2?n?1
n?4n?4n?4时n?n2n21|2?0|?2?2 n?n?1n?n?1n?n?1n2n
22不等号（1）成立的条件是n?[],故取n=max{4, []},则当n>n时，上面的不等式都成例2、用数列极限定义证明：lim
立。
注：对于一个由若干项组成的代数式，可放大或缩小为这个代数式的一部分。如： ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
n2?n?1?n2
n2?n?1?n
n?n?n22
nn?12?n?1
?1n
例3、已知an?，证明数列an的极限是零。 2n?1
?1n1112
证明：?0设0?1，欲使|an?0|?||成立 22n?1n?1n?1
11解得：n1，由于上述式子中的等式和不等号（1）对于任意的正整n?1?
1数n都是成立的，因此取n?[?1]，则当n>n时，不等号（2）成立，进而上述系列等式由不等式?
和不等式均成立，所以当n>n时，|an?0|。
在上面的证明中，设定0?1，而数列极限定义中的?是任意的，为什么要这样设定？这样设定是否符合数列极限的定义？
在数列极限定义中，n是一个正整数，此题如若不设定0?1，则n?[?1]就有1
?
可能不是正整数，例如若?＝2，则此时n＝－1，故为了符合数列极限的定义，先设定0?1，这样就能保证n是正整数了。
那么对于大于1的?，是否能找到对应的n？能找到。按照上面已经证明的结论，当?＝0.5时，有对应的n1，当n>n1时，|an?0|＜0.5成立。因此，当n＞n1时，对于任意的大于1的?，下列式子成立：
|an?0|＜0.5＜1＜?，亦即对于所有大于1的?，我们都能找到与它相对应的n=n1。因此，在数列极限证明中，?可限小。只要对于较小的?能找到对应的n，则对于较大的?．．．
就自然能找到对应的n。
第四篇：极限 定义证明
极限定义证明
趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0
x趋近于负1/2，2x加1分之1减4x的平方等于2
这两个用函数极限定义怎么证明?
x趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0
证明：对于任意给定的ξ>0，要使不等式
|sinx/√x-0|=|sinx/√x|<ξ成立，只需要
|sinx/√x|^2<ξ^2,即sinx^2/x<ξ^2∵x→+∞,则x>sinx^2/ξ^2,
∵|sinx|≤1∴只需不等式x>1/ξ^2成立，
所以取x=1/ξ^2，当x>x时，必有|sinx/√x-0|<ξ成立，
同函数极限的定义可得x→+∞时，sinx/√x极限为0.
x趋近于负1/2，2x加1分之1减4x的平方等于2
证明：对于任意给定的ξ>0，要使不等式
|1-4x^2/2x+1-2|=|1-2x-2|=|-2x-1|=|2x+1|<ξ成立，只
需要0<|x+1/2|<ξ/2成立.所以取δ=ξ/2,则当0<|x+1/2|<δ时，必有
|1-4x^2/2x+1-2|=|2x+1|<ξ，
由函数极限的定义可得x→-1/2时，1-4x^2/2x+1的极限为2.
注意，用定义证明x走近于某一常数时的极限时，关键是找出那个绝对值里面x减去的那个x0.
记gx=lim^1/n，n趋于正无穷;
下面证明limgx=max{a1,...am},x趋于正无穷。把max{a1,...am}记作a。
不妨设f1x趋于a;作b>a>=0,m>1;
那么存在n1,当x>n1,有a/m<=f1x
注意到f2的极限小于等于a，那么存在n2，当x>n2时，0<=f2x
同理，存在ni，当x>ni时，0<=fix
取n=max{n1,n2...nm};
那么当x>n,有
a/m^n<=f1x^n<=f1x^n+...fmx^n
所以a/m<=^1/n
对n取极限，所以a/m<=gxn时成立;
令x趋于正无穷，
a/m<=下极限gx<=上极限gx<=b;
注意这个式子对任意m>1,b>a都成立，中间两个极限都是固定的数。
令m趋于正无穷，b趋于a;
有a<=下极限gx<=上极限gx<=a;
这表明limgx=a;
证毕;
证明有点古怪是为了把a=0的情况也包含进去。
还有个看起来简单些的方法
记gx=lim^1/n，n趋于正无穷;
gx=max{f1x,....fmx};
然后求极限就能得到limgx=max{a1,...am}。
其实这个看起来显然，但对于求极限能放到括号里面，但真要用极限定义严格说明却和上面的证明差不多。
有种简单点的方法，就是
max{a,b请继续关注
多个求max相当于先对f1，f2求max，再对结果和f3求，然后继续，从而为有限次代数运算式，
故极限可以放进去。
2
一时函数的极限：
以时和为例引入.
介绍符号:的意义,的直观意义.
定义和.
几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.
例1验证例2验证例3验证证……
二时函数的极限：
由考虑时的极限引入.
定义函数极限的“”定义.
几何意义.
用定义验证函数极限的基本思路.
例4验证例5验证例6验证证由=
为使需有为使需有于是,倘限制,就有
例7验证例8验证类似有三单侧极限:
1.定义：单侧极限的定义及记法.
几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.
例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:
th类似有:例10证明:极限不存在.
例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有
=§2函数极限的性质3学时
教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点：函数极限的性质及其计算。
教学难点：函数极限性质证明及其应用。
教学方法：讲练结合。
一、组织教学：
我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.
二、讲授新课：
一函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.
1.唯一性:
2.局部有界性:
3.局部保号性:
4.单调性不等式性质:
th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=现证对有
註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.
5.迫敛性:
6.四则运算性质:只证“+”和“”
二利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：
注意前四个极限中极限就是函数值
这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.
利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.
例1利用极限和
例2例3註:关于的有理分式当时的极限.
例4
例5例6例7
2
第五篇：函数极限的定义证明
习题1?3
1. 根据函数极限的定义证明:
1lim3x?1?8;x?3
2lim5x?2?12;x?2
x2?44;3limx2x?2
1?4x3
4lim?2.
x2x?12
1证明 1分析 |3x?1?8|?|3x?9|?3|x?3|, 要使|3x?1?8| , 只须|x?3|.3
1证明 因为 ?0, , 当0?|x?3|时, 有|3x?1?8| , 所以lim3x?1?8.x?33
12分析 |5x?2?12|?|5x?10|?5|x?2|, 要使|5x?2?12| , 只须|x?2|.5
1证明 因为 ?0, , 当0?|x?2|时, 有|5x?2?12| , 所以lim5x?2?12.x?25
3分析
|x??2|.x2?4x2?4x?4x2?4??4|x?2|?|x??2|, 要使??4, 只须x?2x?2x?2
x2?4x2?4??4, 所以lim4.证明 因为 ?0, , 当0?|x??2|时, 有x2x?2x?2
4分析 1?4x3111?4x31?2, 只须|x??|.?2?|1?2x?2|?2|x??|, 要使2x?12x?1222
1?4x3111?4x3
?2, 所以lim证明 因为 ?0, , 当0?|x??|时, 有?2.12x?12x?122x2. 根据函数极限的定义证明:
1lim1?x3
2x3
sinxx?1;22limx?x?0.
证明 1分析
|x|?1
1?x32x311?x3?x322x3?12|x|3, 要使1?x32x3?11, 只须, 即322|x|2?.
证明 因为 ?0, ?x?2分析
sinxx?0?
12?
, 当|x|?x时, 有1x
1?x32x311?x31?, 所以lim?.
x2x322
1x
, 即x?
sinxx
|sinx|x
?, 要使
sinx
证明 因为?0, ?x?
?2
, 当x?x时, 有
xsinxx
?0, 只须
?
.
?0, 所以lim
x?
?0.
3. 当x?2时,y?x2?4. 问?等于多少, 使当|x?2|<?时, |y?4|<0. 001？
解 由于x?2, |x?2|?0, 不妨设|x?2|?1, 即1?x?3. 要使|x2?4|?|x?2||x?2|?5|x?2|?0. 001, 只要
|x?2|?
0.001
?0.0002, 取0. 0002, 则当0?|x?2|时, 就有|x2?4|?0. 001.5
x2?1x?3
4. 当x时, y?
x2?1x2?3
?1, 问x等于多少, 使当|x|>x时, |y?1|<0.01?
解 要使?1?
4x2?3
?0.01, 只|x|?
?3?397, x?.0.01
5. 证明函数fx?|x| 当x?0时极限为零.
x|x|
6. 求fx?, ?x?当x?0时的左﹑右极限, 并说明它们在x?0时的极限是否存在.
xx
证明 因为
x
limfx?lim?lim1?1,
x?0?x?0?xx?0?x
limfx?lim?lim1?1,
x?0?x?0?xx?0?limfx?limfx,
x?0
x?0
所以极限limfx存在.
x?0
因为
lim?x?lim
x?0
x?0
|x|?x
?lim1,?x?0xx|x|x?lim?1,xx?0?x
lim?x?lim
x?0
x?0
lim?x?lim?x,
x?0
x?0
所以极限lim?x不存在.
x?0
7. 证明: 若x?及x?时, 函数fx的极限都存在且都等于a, 则limfx?a.
x
证明 因为limfx?a, limfx?a, 所以>0,
x?
x?
?x1?0, 使当xx1时, 有|fx?a| ;?x2?0, 使当x?x2时, 有|fx?a| .
取x?max{x1, x2}, 则当|x|?x时, 有|fx?a| , 即limfx?a.
x
8. 根据极限的定义证明: 函数fx当x?x0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.
证明 先证明必要性. 设fx?ax?x0, 则>0, ?0, 使当0<|x?x0|<? 时, 有
|fx?a|<? .
因此当x0<x<x0和x0<x<x0 时都有
|fx?a|<? .
这说明fx当x?x0时左右极限都存在并且都等于a .再证明充分性. 设fx0?0?fx0?0?a, 则>0,1>0, 使当x01<x<x0时, 有| fx?a<? ;2>0, 使当x0<x<x0+?2时, 有| fx?a|<? .
取min{?1, ?2}, 则当0<|x?x0|<? 时, 有x01<x<x0及x0<x<x0+?2 , 从而有
| fx?a|<? ,
即fx?ax?x0.
9. 试给出x时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.
解 x时函数极限的局部有界性的定理? 如果fx当x时的极限存在? 则存在x?0及m?0? 使当|x|?x时? |fx|?m?
证明 设fx?ax? 则对于? ?1? ?x?0? 当|x|?x时? 有|fx?a| ?1? 所以|fx|?|fx?a?a|?|fx?a|?|a|?1?|a|?
这就是说存在x?0及m?0? 使当|x|?x时? |fx|?m? 其中m?1?|a|?
