高中数学明显难了很多。函数是高中数学的重要部分，因此,很多同学感觉学习函数很吃力，下面小编整理了，希望对同学们有帮助。
指数函数的一般形式为y=a^xa>0且≠1 x∈R。
1 指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0且不等于1，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑，
同时a等于0函数无意义一般也不考虑。
2 指数函数的值域为大于0的实数集合。
3 函数图形都是下凹的。
4 a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。
5 可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中当然不能等于0，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
6 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。
7 函数总是通过0，1这点,若y=a^x+b,则函数定过点0,1+b
8 显然指数函数无界。
9 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
10当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。
底数的平移：
对于任何一个有意义的指数函数：
在指数上加上一个数，图像会向左平移;减去一个数，图像会向右平移。
在fX后加上一个数，图像会向上平移;减去一个数，图像会向下平移。
即“上加下减，左加右减”
底数与指数函数图像：
1由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点1，a可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。
2由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点-1，1/a可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。
3指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”;在y轴左边“底大图低”。如右图
幂的大小比较：
比较大小常用方法：1比差商法：2函数单调性法;3中间值法：要比较A与B的大小，先找一个中间值C，再比较A与C、B与C的大小，由不等式的传递性得到A与B之间的大小。
比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意：
1对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。
例如：y1=3^4,y2=3^5，因为3大于1所以函数单调递增即x的值越大，对应的y值越大，因为5大于4，所以y2大于y1.
2对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图像的变化规律来判断。
例如：y1=1/2^4,y2=3^4,因为1/2小于1所以函数图像在定义域上单调递减;3大于1，所以函数图像在定义域上单调递增，在x=0是两
个函数图像都过0，1然后随着x的增大，y1图像下降，而y2上升，在x等于4时，y2大于y1.
3对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则可以利用中间值来比较。如：
<1> 对于三个或三个以上的数的大小比较，则应该先根据值的大小特别是与0、1的大小进行分组，再比较各组数的大小即可。
<2> 在比较两个幂的大小时，如果能充分利用“1”来搭“桥”即比较它们与“1”的大小，就可以快速的得到答案。哪么如何判断一个幂与“1”大小呢?由指数函数的图像和性质可知“同大异小”。即当底数a和1与指数x与0之间的不等号同向例如： a 〉1且x 〉0，或0〈 a〈 1且 x〈 0时，a^x大于1，异向时a^x小于1.
〈3〉例：下列函数在R上是增函数还是减函数?说明理由.
⑴y=4^x
因为4>1，所以y=4^x在R上是增函数;
⑵y=1/4^x
因为0<1/4<1,所以y=1/4^x在R上是减函数
对数函数
一般地，如果aa大于0，且a不等于1的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log aN=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
对数函数的公理化定义
真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，
底数则要大于0且不为1
对数函数的底数为什么要大于0且不为1
在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值的。但是，根据对数定义: logaa=1;如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切实数比如log1 1也可以等于2，3，4，5，等等第二，根据定义运算公式：loga M^n = nloga M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 比如，log-2 4^-2 就不等于-2*log-24;一个等于4，另一个等于-4
对数函数的一般形式为 y=logax，它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=a^y。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：
可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。
1 对数函数的定义域为大于0的实数集合。
2 对数函数的值域为全部实数集合。
3 函数图像总是通过1，0点。
4 a大于1时，为单调增函数，并且上凸;a小于1大于0时，函数为单调减函数，并且下凹。
5 显然对数函数无界。
对数函数的常用简略表达方式：
1logab=logab
2lgb=log10b
3lnb=logeb
对数函数的运算性质：
如果a〉0，且a不等于1,M>0,N>0，那么：
1logaMN=logaM+logaN;
2logaM/N=logaM-logaN;
3logaM^n=nlogaM n属于R
4loga^kM^n
=n/klogaM n属于R
5logaM×logaN=logaM+N
6logaM÷logaN=logaM-N
对数与指数之间的关系
当a大于0,a不等于1时,a的X次方=N等价于logaN
loga^kM^n=n/klogaM n属于R
换底公式 很重要
logaN=logbN/logba= lnN/lna=lgN/lga
ln 自然对数 以e为底
lg 常用对数 以10为底
[编辑本段]对数的定义和运算性质
一般地，如果aa大于0，且a不等于1的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
底数则要大于0且不为1
对数的运算性质：
当a>0且a≠1时,M>0,N>0，那么：
1logaMN=logaM+logaN;
2logaM/N=logaM-logaN;
3logaM^n=nlogaM n∈R
4换底公式：logAM=logbM/logbA b>0且b≠1
对数与指数之间的关系
当a>0且a≠1时,a^x=N x=㏒aN 对数恒等式
对数函数的常用简略表达方式：
1logab=logab
2常用对数:lgb=log10b
3自然对数:lnb=logeb
e=2.718281828... 通常情况下只取e=2.71828 对数函数的定义
对数函数的一般形式为 y=㏒ax，它实际上就是指数函数的反函数图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数，可表示为x=a^y。因此指数函数里对于a的规定a>0且a≠1，同样适用于对数函数。
右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：
可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。
[编辑本段]性质
定义域：0，+∞值域：实数集R
定点：函数图像恒过定点1，0。
单调性：a>1时，在定义域上为单调增函数，并且上凸;
0<a<1时，在定义域上为单调减函数，并且下凹。
奇偶性：非奇非偶函数，或者称没有奇偶性。
周期性：不是周期函数
零点：x=1
注意：负数和0没有对数。
两句经典话：底真同对数正
底真异对数负
幂函数 形如y=x^aa为常数的函数，[即以底数为自变量指数为常量的函数称为幂函数。]
当a取非零的有理数时是比较容易理解的，而对于a取无理数时，初学者则不大容易理解了。因此，在初等函数里，我们不要求掌握指数为无理数的问题，只需接受它作为一个已知事实即可，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。
对于a的取]值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：
首先我们
知道如果a=p/q，且p/q为既约分数即p、q互质，q和p都是整数，则x^p/q=q次根号x的p次方，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,+∞。当指数a是负整数时，设a=-k，则x=1/x^k，显然x≠0，函数的定义域是-∞，0∪0,+∞。因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：
排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意[实数;
排除了为0这种可能，即对于x<0或x>0的所有实数，q不[能是偶数;
排除了为负数这种可能，即对于x为大于或等于0的所有实数，a就不能是负数。
总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：
如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;
如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。
在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。
在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。
而只有a为正数，0才进入函数的值域。
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，
因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.
可以看到：
1所有的图形都通过1，1这点.a≠0 a>0时 图象过点0，0和1，1
2当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。
3当a大于1时，幂函数图形下凸;当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。
4当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。
5显然幂函数无界限
