高中数学不等式的证明复习教案设计

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【导读】 高中数学不等式的证明复习教案设计,下面是小编为你收集整理的,希望对你有帮助!教师在设计教案的时候,教案逻辑思路清晰,符合认识规律,培养学生自主学习习惯和能力。这样才能有效提高教学质量。下面是小编分享给大家的高中数学不等式的证明复习教案,希望大家喜欢!高中数学不等式的证明复习教...

教师在设计教案的时候,教案逻辑思路清晰,符合认识规律,培养学生自主学习习惯和能力。这样才能有效提高教学质量。下面是小编分享给大家的高中数学不等式的证明复习教案,希望大家喜欢!

高中数学不等式的证明复习教案一

教学目标

1.掌握分析法证明不等式;

2.理解分析法实质——执果索因;

3.提高证明不等式证法灵活性.

教学重点 分析法

教学难点 分析法实质的理解

教学方法 启发引导式

教学活动

一导入新课

教师活动教师提出问题,待回答和思考后点评.

活动回答和思考教师提出的问题.

[问题1]我们已经学习了哪几种不等式的证明方法?什么是比较法?什么是综合法?

[问题 2]能否用比较法或综合法证明不等式:

[点评]在证明不等式时,若用比较法或综合法难以下手时,可采用另一种证明方法:分析法.板书课题

设计意图:复习已学证明不等式的方法.指出用比较法和综合法证明不等式的不足之处,

激发学习新的证明不等式知识的积极性,导入本节课学习内容:用分析法证明不等式.

二新课讲授

【尝试探索、建立新知】

教师活动教师讲解综合法证明不等式的逻辑关系,然后提出问题供学生研究,并点评.帮助建立分析法证明不等式的知识体系.投影分析法证明不等式的概念.

活动与教师一道分析综合法的逻辑关系,在教师启发、引导下尝试探索,构建新知.

[讲解]综合法证明不等式的逻辑关系:以已知条件中的不等式或基本不等式作为结论,逐步寻找它成立的必要条件,直到必要条件就是要证明的不等式.

[问题1]我们能不能用同样的思考问题的方式,把要证明的不等式作为结论,逐步去寻找它成立的充分条件呢?

[问题2]当我们寻找的充分条件已经是成立的不等式时,说明了什么呢?

[问题3]说明要证明的不等式成立的理由是什么呢?

[点评]从要证明的结论入手,逆求使它成立的充分条件,直到充分条件显然成立为止,从而得出要证明的结论成立.就是分析法的逻辑关系.

[投影]分析法证明不等式的概念.见课本

设计意图:对比综合法的逻辑关系,教师层层设置问题,激发积极思考、研究.建立新的知识;分析法证明不等式.培养学习创新意识.

【例题示范、学会应用】

教师活动教师板书或投影例题,引导研究问题,构思证题方法,学会用分析法证明不等式,并点评用分析法证明不等式必须注意的问题.

学生活动在教师引导下,研究问题,与教师一道完成问题的论证.

例1求证

[分析]此题用比较法和综合法都很难入手,应考虑用分析法.

证明:见课本

[点评]证明某些含有根式的不等式时,用综合法比较困难.此例中,我们很难想到从“ ”入手,因此,在不等式的证明中,分析法占有重要的位置,我们常用分析法探索证明途径,然后用综合法的形式写出证明过程,这是解决问题的一种重要思维方法,事实上,有些综合法的表述正是建立在分析法思索的基础上,分析法的优越性正体现在此.

例2已知: ,求证: 用分析法请思考下列证法有没有错误?若有错误,错在何处?

[投影]证法一:因为 ,所以 、去分母,化为 ,就是 .由已知 成立,所以求证的不等式成立.

证法二:欲证 ,因为

只需证 ,

即证 ,

即证

因为 成立,所以 成立.

证法二正确,证法一错误.错误的原因是:虽然是从结论出发,但不是逐步逆战结论成立的充分条件,事实上找到明显成立的不等式是结论的必要条件,所以不符合分析法的逻辑原理,犯了逻辑上的错误.

[点评]①用分析法证明不等式的逻辑关系是:

结论步步寻找不等式成立的充分条件结论

分析法是“执果索因”,它与综合法的证明过程由因导果恰恰相反.②用分析法证明时要注意书写格式.分析法论证“若a则b”这个命题的书写格式是:

要证命题b为真,

只需证明 为真,从而有……

这只需证明 为真,从而又有……

……

这只需证明a为真.

而已知a为真,故命题b必为真.

要理解上述格式中蕴含的逻辑关系.

[投影] 例3 证明:通过水管放水,当流速相同时,如果水管截面指横截面,下同的周长相等,那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大.

[分析]设未知数,列方程,因为当水的流速相同时,水管的流量取决于水管截面面积的大小,设截面的周长为 ,则周长为的圆的半径为 ,截面积为 ;周长为 的正方形边长为 ,截面积为 ,所以本题只需证明:

证明:见课本

设计意图:理解分析法与综合法的内在联系,说明分析法在证明不等式中的重要地位.掌

握分析法证明不等式,特别重视分析法证题格式及格式中蕴含的逻辑关系.灵活掌握分析法的应用,培养应用知识解决实际问题的能力.

【课堂练习】

教师活动打出字幕练习,请甲、乙两位同学板演,巡视的解题情况,对正确的证法给予肯定,对偏差及时纠正.点评练习中存在的问题.

活动在笔记本上完成练习,甲、乙两位同学板演.

【字幕】练习1.求证

2.求证:

设计意图:掌握用分析法证明不等式,反馈课堂效果,调节课堂教学.

【分析归纳、小结解法】

教师活动分析归纳例题和练习的解题过程,小给用分析法证明不等式的解题方法.

活动与教师一道分析归纳,小结解题方法,并记录笔记.

1.分析法是证明不等式的一种常用基本方法.当证题不知从何入手时,有时可以运用分析法而获得解决,特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更是行之有效的.

2.用分析法证明不等式时,要正确运用不等式的性质逆找充分条件,注意分析法的证题格式.

设计意图:培养分析归纳问题的能力,掌握分析法证明不等式的方法.

三小结

教师活动教师小结本节课所学的知识.

活动与教师一道小结,并记录笔记.

本节课主要学习了用分析法证明不等式.应用分析法证明不等式时,掌握一些常用技巧:

通分、约分、多项式乘法、因式分解、去分母,两边乘方、开方等.在使用这些技巧变形时,要注意遵循不等式的性质.另外还要适当掌握指数、对数的性质、三角公式在逆推中的灵活运用.理解分析法和综合法是对立统一的两个方面.有时可以用分析法思索,而用综合法书写证明,或者分析法、综合法相结合,共同完成证明过程.

设计意图:培养对所学知识进行概括归纳的能力,巩固所学知识.

四布置作业

1.课本作业:p17 4、5.

2.思考题:若 ,求证

3.研究性题:已知函数 , ,若 、 ,且 证明

设计意图:思考题供学有余力同学练习,研究性题供研究分析法证明有关问题.

高中数学不等式的证明复习教案二

●知识梳理

1.|x|>a x>a或x<-aa>0;

|x|0.0中的a>0改为a∈R还成立吗?

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2.形如|x-a|+|x-b|≥c的不等式的求解通常采用“零点分段讨论法”.

3.含参不等式的求解,通常对参数分类讨论.

4.绝对值不等式的性质:

||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.

思考讨论

1.在|x|>a x>a或x<-aa>0、|x|

2.绝对值不等式的性质中等号成立的条件是什么?

●点击双基

1.设a、b是满足ab<0的实数,那么

A.|a+b|>|a-b|

B.|a+b|<|a-b|

C.|a-b|<||a|-|b||

D.|a-b|<|a|+|b|

解析:用赋值法.令a=1,b=-1,代入检验.

答案:B

2.不等式|2x2-1|≤1的解集为

A.{x|-1≤x≤1} B.{x|-2≤x≤2}

C.{x|0≤x≤2} D.{x|-2≤x≤0}

解析:由|2x2-1|≤1得-1≤2x2-1≤1.

∴0≤x2≤1,即-1≤x≤1.

答案:A

3.不等式|x+log3x|<|x|+|log3x|的解集为

A.0,1 B.1,+∞

C.0,+∞ D.-∞,+∞

解析:∵x>0,x与log3x异号,

∴log3x<0.∴0

答案:A

4.已知不等式a≤ 对x取一切负数恒成立,则a的取值范围是____________.

解析:要使a≤ 对x取一切负数恒成立,

令t=|x|>0,则a≤ .

而 ≥ =2 ,

∴a≤2 .

答案:a≤2

5.已知不等式|2x-t|+t-1<0的解集为- , ,则t=____________.

解析:|2x-t|<1-t,t-1<2x-t<1-t,

2t-1<2x<1,t-

∴t=0.

答案:0

●典例剖析

【例1】 解不等式|2x+1|+|x-2|>4.

剖析:解带绝对值的不等式,需先去绝对值,多个绝对值的不等式必须利用零点分段法去绝对值求解.令2x+1=0,x-2=0,得两个零点x1=- ,x2=2.

解:当x≤- 时,原不等式可化为

-2x-1+2-x>4,

∴x<-1.

当-

2x+1+2-x>4,

∴x>1.又-

∴1

当x>2时,原不等式可化为

2x+1+x-2>4,∴x> .

又x>2,∴x>2.

综上,得原不等式的解集为{x|x<-1或1

深化拓展

若此题再多一个含绝对值式子.如:

|2x+1|+|x-2|+|x-1|>4,你又如何去解?

分析:令2x+1=0,x-2=0,x-1=0,

得x1=- ,x2=1,x3=2.

解:当x≤- 时,原不等式化为

-2x-1+2-x+1-x>4,∴x<- .

当-

2x+1+2-x+1-x>4,4>4矛盾.

当1

2x+1+2-x+x-1>4,∴x>1.

又1

∴1

当x>2时,原不等式可化为

2x+1+x-2+x-1>4,∴x> .

又x>2,∴x>2.

综上所述,原不等式的解集为{x|x<- 或x>1}.

【例2】 解不等式|x2-9|≤x+3.

剖析:需先去绝对值,可按定义去绝对值,也可利用|x|≤a -a≤x≤a去绝对值.

解法一:原不等式 1 或2

不等式1 x=-3或3≤x≤4;

不等式2 2≤x<3.

∴原不等式的解集是{x|2≤x≤4或x=-3}.

解法二:原不等式等价于

或x≥2 x=-3或2≤x≤4.

∴原不等式的解集是{x|2≤x≤4或x=-3}.

【例3】 理已知函数fx=x|x-a|a∈R.

1判断fx的奇偶性;

2解关于x的不等式:fx≥2a2.

解:1当a=0时,

f-x=-x|-x|=-x|x|=-fx,

∴fx是奇函数.

当a≠0时,fa=0且f-a=-2a|a|.

故f-a≠fa且f-a≠-fa.

∴fx是非奇非偶函数.

2由题设知x|x-a|≥2a2,

∴原不等式等价于 ①

或 ②

由①得 x∈ .

由②得

当a=0时,x≥0.

当a>0时,

∴x≥2a.

当a<0时,

即x≥-a.

综上

a≥0时,fx≥2a2的解集为{x|x≥2a};

a<0时,fx≥2a2的解集为{x|x≥-a}.

文设函数fx=ax+2,不等式| fx|<6的解集为-1,2,试求不等式 ≤1的解集.解:|ax+2|<6,

∴ax+22<36,

即a2x2+4ax-32<0.

由题设可得

解得a=-4.

∴fx=-4x+2.

由 ≤1,即 ≤1可得 ≥0.

解得x> 或x≤ .

∴原不等式的解集为{x|x> 或x≤ }.

●闯关训练

夯实基础

1.已知集合A={x|a-1≤x≤a+2},B={x|3

A.{a|3

C.{a|3

解析:由题意知 得3≤a≤4.

答案:B

2.不等式|x2+2x|<3的解集为____________.

解析:-3

∴-3

答案:-3

3.不等式|x+2|≥|x|的解集是____________.

解法一:|x+2|≥|x| x+22≥x2 4x+4≥0 x≥-1.

解法二: 在同一直角坐标系下作出fx=|x+2|与gx=|x|的图象,根据图象可得x≥-1.

解法三:根据绝对值的几何意义,不等式|x+2|≥|x|表示数轴上x到-2的距离不小于到0的距离,∴x≥-1.

答案:{x|x≥-1}

评述:本题的三种解法均为解绝对值不等式的基本方法,必须掌握.

4.当0

解:由0x-2.

这个不等式的解集是下面不等式组①及②的解集的并集. ①

或 ②

解不等式组①得解集为{x| ≤x<2},

解不等式组②得解集为{x|2≤x<5},

所以原不等式的解集为{x| ≤x<5}.

5.关于x的方程3x2-6m-1x+m2+1=0的两实根为x1、x2,若|x1|+|x2|=2,求m的值.

解:x1、x2为方程两实根,

∴Δ=36m-12-12m2+1≥0.

∴m≥ 或m≤ .

又∵x1•x2= >0,∴x1、x2同号.

∴|x1|+|x2|=|x1+x2|=2|m-1|.

于是有2|m-1|=2,∴m=0或2.

∴m=0.

培养能力

6.解不等式 ≤ .

解:1当x2-2<0且x≠0,即当-

2当x2-2>0时,原不等式与不等式组 等价.

x2-2≥|x|,即|x|2-|x|-2≥0.

∴|x|≥2.∴不等式组的解为|x|≥2,

即x≤-2或x≥2.

∴原不等式的解集为-∞,-2]∪- ,0∪0, ∪[2,+∞.

7.已知函数fx= 的定义域恰为不等式log2x+3+log x≤3的解集,且fx在定义域内单调递减,求实数a的取值范围.

解:由log2x+3+log x≤3得

x≥ ,

即fx的定义域为[ ,+∞.

∵fx在定义域[ ,+∞内单调递减,

∴当x2>x1≥ 时,fx1-fx2>0恒成立,即有ax1- +2-ax2- +2>0 ax1-x2- - >0

x1-x2a+ >0恒成立.

∵x10

a+ <0.

∵x1x2> - >- ,

要使a<- 恒成立,

则a的取值范围是a≤- .

8.有点难度哟!

已知fx=x2-x+c定义在区间[0,1]上,x1、x2∈[0,1],且x1≠x2,求证:

1f0=f1;

2| fx2-fx1|<|x1-x2|;

3| fx1-fx2|< ;

4| fx1-fx2|≤ .

证明:1f0=c,f1=c,

∴f0=f1.

2| fx2-fx1|=|x2-x1||x2+x1-1|.

∵0≤x1≤1,∴0≤x2≤1,0

∴-1

∴| fx2-fx1|<|x2-x1|.

3不妨设x2>x1,由2知

| fx2-fx1|

而由f0=f1,从而

| fx2-fx1|=| fx2-f1+f0-fx1|≤| fx2-f1|+| f0-

fx1|<|1-x2|+|x1|<1-x2+x1. ②

①+②得2| fx2-fx1|<1,

即| fx2-fx1|< .

4|fx2-fx1|≤fmax-fmin=f0-f = .

探究创新

9.1已知|a|<1,|b|<1,求证:| |>1;

2求实数λ的取值范围,使不等式| |>1对满足|a|<1,|b|<1的一切实数a、b恒成立;

3已知|a|<1,若| |<1,求b的取值范围.

1证明:|1-ab|2-|a-b|2=1+a2b2-a2-b2=a2-1b2-1.

∵|a|<1,|b|<1,∴a2-1<0,b2-1<0.

∴|1-ab|2-|a-b|2>0.

∴|1-ab|>|a-b|,

= >1.

2解:∵| |>1 |1-abλ|2-|aλ-b|2=a2λ2-1b2-1>0.

∵b2<1,∴a2λ2-1<0对于任意满足|a|<1的a恒成立.

当a=0时,a2λ2-1<0成立;

当a≠0时,要使λ2< 对于任意满足|a|<1的a恒成立,而 >1,

∴|λ|≤1.故-1≤λ≤1.

3| |<12<1 a+b2<1+ab2 a2+b2-1-a2b2<0 a2-1b2-1<0.

∵|a|<1,∴a2<1.∴1-b2>0,即-1

●思悟小结

1.解含有绝对值的不等式的指导思想是去掉绝对值.常用的方法是:1由定义分段讨论;2利用绝对值不等式的性质;3平方.

2.解含参数的不等式,如果转化不等式的形式或求不等式的解集时与参数的取值范围有关,就必须分类讨论.注意:1要考虑参数的总取值范围.2用同一标准对参数进行划分,做到不重不漏.

●教师下载中心

教学点睛

1.绝对值是历年高考的重点,而绝对值不等式更是常考常新.在教学中要从绝对值的定义和几何意义来分析,绝对值的特点是带有绝对值符号,如何去掉绝对值符号,一定要教给学生方法,切不可以题论题.

2.无理不等式在新课程书本并未出现,但可以利用不等式的性质把其等价转化为代数不等式.

3.指数、对数不等式能利用单调性求解.

拓展题例

【例1】 设x1、x2、y1、y2是实数,且满足x12+x22≤1,证明不等式x1y1+x2y2-12≥x12+x22-1y12+y22-1.

分析:要证原不等式成立,也就是证x1y1+x2y2-12-x12+x22-1y12+y22-1≥0.

证明:1当x12+x22=1时,原不等式成立.

2当x12+x22<1时,联想根的判别式,可构造函数fx=x12+x22-1x-2x1y1+x2y2-1x+y12+y22-1,其根的判别式Δ=4x1y1+x2y2-12-4x12+x22-1y12+y22-1.

由题意x12+x22<1,函数fx的图象开口向下.

又∵f1=x12+x22-2x1y1-2x2y2+y12+y22=x1-y12+x2-y22≥0,

因此抛物线与x轴必有公共点.

∴Δ≥0.

∴4x1y1+x2y2-12-4x12+x22-1y12+y22-1≥0,

即x1y1+x2y2-12≥x12+x22-1y12+y22-1.

高中数学不等式的证明复习教案三

1一元二次不等式:一元二次不等式二次项系数小于零的,同解变形为二次项系数大于零;注:要对进行讨论:

2绝对值不等式:若,则;;

注意:

1解有关绝对值的问题,考虑去绝对值,去绝对值的方法有:

⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值;

2.通过两边平方去绝对值;需要注意的是不等号两边为非负值。

3.含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。

4分式不等式的解法:通解变形为整式不等式;

5不等式组的解法:分别求出不等式组中,每个不等式的解集,然后求其交集,即是这个不等式组的解集,在求交集中,通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上,取它们的公共部分。

6解含有参数的不等式:

解含参数的不等式时,首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论:

①不等式两端乘除一个含参数的式子时,则需讨论这个式子的正、负、零性.

②在求解过程中,需要使用指数函数、对数函数的单调性时,则需对它们的底数进行讨论.

③在解含有字母的一元二次不等式时,需要考虑相应的二次函数的开口方向,对应的一元二次方程根的状况有时要分析△,比较两个根的大小,设根为或更多但含参数,要讨论。

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