复函数与复变函数的区别:复平面变换下的复变函数
作者 | 刘洋洲
来源 | 转自知乎专栏《万物皆数也》,“数学英才”获授权转载,在此感谢!
在上一篇文章 《从复数乘法到代数基本定理——拓扑角度看复变》(点击文章题目可查看)中,我们回顾了复数的几何意义,同时专门研究了多项式函数的特点。本文尝试可视化指数函数、三角函数,并且建立正切函数与莫比乌斯变换的联系。
Part1指数函数指数函数的几何意义建立在欧拉公式之上,
复变函数实际上就是复平面到自身的变换。逐点研究复变函数并不是非常方便,而直接观察复平面上网格的映射前后的变化,比较容易直观地把握复平面上的变换。所谓网格,就是指分别平行于实轴和虚轴的、等间距的直线所构成的集合。
1水平条形区域
设一条水平直,它被指数函数作用后变成:
这是一个过原点的射线,与实轴的夹角为,即的虚部。
如上图,我们将指数函数的原像和像放在同一个复平面内,如上图。根据上面的分析,原像复平面上的浅蓝色的水平直线被映射为粉色过原点的射线,更近一步,我们发现指数函数将水平条形区域映射为顶点为原点的扇形区域。更确切地说,每经过宽度为的水平条形区域,其所对应的扇形区域此时为整个复平面:
图中与分别是水平直线和射线上的点,且. 当沿着水平直线往右方匀速移动,则沿射线往无穷远移动,且速度越来越快;当沿着水平直线往匀速左移动,则B沿射线逐渐靠近原点,但速度越来越慢。这显然是因为
模长函数是实数函数的性质。
2竖直条形区域
上面的图片已经显示出:当点沿着竖向直线匀速移动时,则点做匀速圆周运动。即竖直直线被映射为圆,圆心位于原点,半径:
于是考虑连续的竖直直线所构成的竖直条形区域(见下图绿色直线之间区域)。经过指数函数作用后,变为环形区域(见下图粉色大小圆所夹的环形区域)。其中
同理,将竖直条形区域沿竖向每隔等分,则每个矩形小区域都被一一地映射为环形区域。
3小结
我们在上面两种情况充分了解的基础上,最后进行整体的感知。以下是连续一连续变化的过程:正方形网格的左侧两逐渐往负实轴压缩,然后扭转合抱,不断地旋转;右侧在旋转的同时,离原点愈来愈远……
在 《从复数乘法到代数基本定理——拓扑角度看复变》中,我们介绍了多项式函数的黎曼曲面,其整体像是一个旋转楼梯,只是需要最后一层与第一层衔接起来。而指数函数的黎曼曲面则像是无穷无尽的旋转楼梯,沿上下无尽延伸。我们在前面的分析足以说明这个现象:每一个横向条形区域都用来“裹住”一层楼梯,即复平面,而这样的条形区域和整数一样多(一样多的意思是两者一一对应),称作可列。
从泰勒展开的角度看也很显然。由于
这是一个“无穷次数的多项式”,而《从复数乘法到代数基本定理——拓扑角度看复变》中探讨过多项式函数的黎曼曲面,我们用“有限逼近无限”的思想,可以理解其黎曼曲面无尽的回旋。
网络图片。侵删。
Part2正弦余弦通过方程组很容易解出正余弦函数的指数表达形式:
以下函数图像按照颜色对应正余弦函数,它们是复平面网格经过映射后的像。注意到那些“圆形”的曲线,它们是如何形成的呢?
4类圆曲线的成因
细心的读者一定会发现,这些所谓的“圆形”,实际上并不是正圆,尤其是靠近原点的闭曲线,可能是椭圆曲线。
容易验证正余弦函数与双曲正余弦的函数的关系:
我们将代入余弦函数,在复数域下和角公式依然成立,
我们固定,则将双曲正余弦函数视为常数,即,于是关于变量曲线的曲线为:
这恰好是长短半轴分别为与的椭圆。
那为什么越往外的椭圆看起来越接近圆呢?这是由双曲正切函数的特点导致的:
也就是说长短半轴之比随着参数的往正负无穷跑,越来越趋于,于是在视觉上渐进于正圆。
尾声
下篇,我们将会可视化正切函数与莫比乌斯变换,并且展现两者之间的联系。敬请期待!特别声明,文中未加标注的图片、动图都是借助GeoGebra实现(https://www.geogebra.org/),在此表示感谢。
参考文献
[1] Thristan Needham. 复分析:可视化方法[M]. 人民邮电出版社, 2009.
[2] 沙巴特. 复分析导论: 第4版. 第1卷, 单复变函数[M]. 高等教育出版社, 2010.
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