不定方程整数解求法 挑战解方程求值，344

解:设x y=3…①

1/（x y²） 1/（x² y）=1/2…②

由②:2x² 2y 2x 2y²=（x y²）（x² y）

∴2（x² y²） 2（x y）=x³ xy x²y² y³

∴2（x y）² 2（x y）-4xy=（x y）³-3xy（x y） xy x²y²…③

将①代入③:18 6-4xy=27-9xy xy x²y²

∴（xy）²-4xy 3=0

∴（xy-3）（xy-1）=0

∴xy=3或xy=1

而x⁵ y⁵=（x y）⁵-5x⁴y-10x³y²-10x²y³-5xy⁴

=（x y）⁵-5xy（x³ 2x²y 2xy² y³）

=（x y）⁵-5xy[（x y）³-3xy（x y） 2xy（x y）]

当x y=3，xy=3时

x⁵ y⁵=3⁵-15（3³-3³ 18）=3⁵-15（18）=243-270=-27

当x y=3，xy=1时

x⁵ y⁵=3⁵-5（3³-9 6）=243-120=123

∴x⁵ y⁵=-27或x⁵ y⁵=123