二次曲线的基本知识点 一般平面二次曲线方程秒变大众脸

平面二次曲线的一般形式为：

a_₁₁ x^² 2 a_₁₂ xy a_₂₂ y^² 2 a_₁₃ x 2 a_₂₃ y a_₃₃=0

方程式中既有平方项，又有交叉项，还有一次项和常数项，变成标准二次曲线，可方便地识别曲线类型，还能知道各参数和曲线性质。

只需2步，即旋转和平移：

若a_₁₂≠0，则先要做旋转变换：

x = u cos α – v sin α

y = u sin α v cos α

从而消去xy项。其中，α满足

cot 2α = (a_₁₁−a_₂₂)/(2 a_₁₂₎

经过旋转，原曲线变为：

b_₁₁ u^² b_₂₂ v^² 2 b_₁₃ u 2 b_₂₃ v b_₃₃=0

上式配方，可变为：

c_₁₁(u−u_₀)^² c_₂₂(v−v_₀)^² c_₃₃=0

令

s=u-u_0

t=v-v_0

则曲线方程变为标准方程：

c_11 s^2 c_22 t^2 c_33=0

注 平移变换和旋转变换是保角、保距变换，也就是说，施行平移和旋转变换可将二次方程化为标准型，但是方程所表示的图形保持不变。正因为如此，我们才能借助这两种变换化简二次曲线的方程。

例题 将下列曲线化为标准形：

5x^² 4xy 2y^²−24x−12y 18=0

解 cot 2α = (5−2)/4=3/4，解得

tan α=1/2（或tan α=−2）

则

cos α=2/√5，sin α=1/√5，

作变换：

x = (2u – v)/√5

y = (u 2v)/√5

可得

6u^² v^²−12√5 u 18=0

再配方，得

6(u−√5)² v²=12

再令

u−√5=s，v=t

则化为椭圆标准方程

s^²/2 t^²/12=1

易知这是一个长半轴为2√3，短半轴为√2的椭圆。