开普勒三大定律是如何得出的？比开普勒第三定律更优的一个定律

开普勒第三定律也叫行星运动定律。开普勒第三定律的常见表述是：绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其各自椭圆轨道半长轴的立方与周期的平方之比是一个常量。

开普勒是伟大的，他经过艰苦的运算才得出这么一个定律，不简单！点赞！

用R表示半长轴，用T表示周期，则

R^3/T^2 = 常量

我总结的一个定律比开普勒第三定律更优，更完美，这个定律表述如下：

围绕太阳公转的所有行星，其公转速度的平方与其到太阳的距离的乘积是一个常量。

如果用v表示行星的公转速度，用s表示行星到太阳的距离，则

v^2 · s = 常量

这个定律不需要测量出行星公转的半长轴，也不需要测量出行星公转的周期，并且行星公转到任意一个位置这个定律都成立。只要知道行星在某个位置时的公转速度及其与太阳间的距离就可以。这个定律比开普勒第三定律更优，更完美。

这个定律同样适用于原子中电子围绕原子核公转的情况。在原子中，核外电子围绕原子核公转，电子公转速度的平方与电子到原子核之间的距离的乘积是一个常量。

只要一个质点围绕另一个质点公转，这个定律就适用。

这个定律推导过程如下：

某个行星万有引力的作用下围绕太阳公转，这个行星的质量是m千克，公转到A点时的速度是v1 米/秒，A点到太阳的距离是s1 米，这时，太阳对这个行星产生的万有引力加速度是 a 米/秒^2（米每二次方秒）。

由于此行星公转时，在每一个时刻的速度方向都沿公转轨道的切线方向，所以，当行星运行到A点时，行星受到的万有引力加速度沿切线方向就有一个加速度的分量，这个沿切线方向的加速度的分量叫做切向加速度，设为a1。那么行星沿切线方向会有一个万有引力的分量——切向力，切向力等于行星的质量m乘以切向加速度a1。下面我们先来看，a1和a的关系。

根据万有引力提供向心力，得万有引力等于向心力，

F（向心力）= F（万有引力）

m·（v1^2 ）/ s1 = m·a

m·（v1^2 ）= m· a· s1 ①

此行星围绕太阳公转，在A点时的动能等于行星在A点时受到的切向力做的功。

行星围绕太阳公转可以看成行星在切向力的作用下，以行星到太阳的连线为力臂，围绕着太阳这个中心点转动。切向力乘以力臂s1等于切向力做的功。用F1表示切向力。

那么，得出

1/2·m·（v1^2）= F1 ·s1

切向力F1等于行星质量m乘以切向加速度a1

即 F1 = m · a1

所以1/2·m·（v1^2）= m·a1 ·s1

m·（v1^2）= 2· m·a1 ·s1 ②

比较①式、②式可得 a = 2·a1

可得出一个结论：切向加速度等于万有引力加速度的1/2 。

当此行星与太阳的距离变为s2 米时，它仍会围绕太阳公转，设此时行星运行到B点，在B点的公转速度为v2 米/秒，行星质量仍为m千克，在B点时受到的万有引力加速度是b 米/秒^2 ，受到的切向加速度（万有引力加速度沿切线方向的分量）是a2 米/秒^2 。

行星公转到达B点时的动能等于行星在B点时受到的切向力做的功。用F2表示此时的切向力。

1/2·m·（v2^2）= F2·s2

1/2·m·（v2^2）= m·a2·s2 ③

又 1/2 · m·（v1^2）= m·a1 ·s1 ④

将 ③、④ 式两边分别相除，得

1/2·m·（v2^2）÷［ 1/2 · m·（v1^2） ］

= m·a2·s2 ÷［ m·a1·s1］

得 （v2^2）/（v1^2）= （a2 ·s2）/ （a1·s1 ） ⑤

设 s2 /s1 = n ，根据平方反比定律，当行星与太阳的距离扩大n倍时，受到的万有引力加速度将产为原来的 1/（n^2 ）（n的平方分之一）。

所以行星在B点受到的万有引力加速度b 米/秒^2 等于 行星在A点时受到的万有引力加速度a米/秒^2 的 1/（n^2 ） 。

即 b = 1/（n^2） ·a

由上文得出的结论可知：切向加速度等于万有引力加速度的1/2 。

则 a2 = 1/2·b

a1 =1/2·a

又 b= 1/（n^2 ）·a

所以 a2 = 1/（n^2） ·a1

a2/a1 = 1/（n^2）⑥

将⑥ 式代入⑤式，得

（v2^2）/（v1^2）= ［1/（n^2）］·（s2/s1）

又 s2 /s1 = n ，所以

（v2^2）/（v1^2）= 1/n

由s2 /s1 = n 得 s1/s2 = 1/n

所以（v2^2）/（v1^2）= s1/s2

即（v2^2）·s2 =（v1^2）·s1

即 v^2·s = 常量

由此得到比开普勒第三定律更优的定律：

围绕太阳公转的所有行星，其公转速度的平方与其到太阳的距离的乘积是一个常量 。

用（v2^2）/（v1^2）= s1/s2这个关系式进行验证。

验证一：

水星的近日点距离太阳46001200km，

水星近日点公转速度为53.4313 km/s

水星的远日点距离太阳69816900km，

水星远日点公转速度为43.6193km/s

69816900km/46001200km = 1.5177

（53.4313km/s）^2 = 2854.9038km^2/s^2

（43.6193km/s）^ 2= 1902.6433km^2/s^2

2854.9038 km^2/s^2 ÷

1902.6433 km^2/s^2 = 1.5004

1.5177≈1.5004

验证成功。

验证二：用地球和水星的数据进行验证

（忽略地球、水星间质量的差别）

地球的远日点距离太阳152097701km，

地球远日点公转速度为29.291 km/s

水星的远日点距离太阳69816900km，

水星远日点公转速度为43.6193km/s

152097701km÷69816900km= 2.1785

（43.6193km/s）^2 = 1902.6433 km^2/s^2

（29.291km/s）^2 = 857.9626km^2/s^2

1902.6433 km^2/s^2 ÷

857.9626km^2/s^2 = 2.2176

2.1785 ≈ 2.2176

验证成功 。

验证三：用金星和天王星的数据进行验证

（忽略金星、天王星间的质量差别）

金星与太阳的距离：10820万千米

金星的公转速度：35.03 千米/秒

天王星与太阳的距离：287099万千米

天王星的公转速度：6.81 千米/秒

287099万千米 ÷ 10820万千米 =26.5341035

（35.03 km/s）^2 = 1227.1009 km^2/s^2

（6.81 km/s）^2 = 46.3761 km^2/s^2

1227.1009 km^2/s^2÷ 46.3761 km^2/s^2

=26.4597691

26.5341035≈26.4597691

验证成功。