为什么正二十面体是最多的？为什么正多面体最多只能是正二十面体

所谓正多面体，是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角。

例如下图

有朋友可能就会问：为什么没有正二十一面体、正五面体呢等等。

首先这个问题最先是被瑞士数学家欧拉所解决。

莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家、自然科学家。1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔，1783年9月18日于俄国圣彼得堡去世。欧拉出生于牧师家庭，自幼受父亲的影响。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域。他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学界中的经典着作。

欧拉渊博的知识，无穷无尽的创作精力和空前丰富的着作，都是令人惊叹不已的！他从19岁开始发表论文，直到76岁，半个多世纪写下了浩如烟海的书籍和论文．到今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字，从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分学的欧拉方程，复变函数的欧拉公式等等，数也数不清。

其中他的成就之一欧拉定理便是解决多面体问题的一把黄金钥匙。

欧拉定理简单来说就是在一凸多面体中，顶点数-棱边数 面数=2

因为本人并非数学专业人才，所以接下来的推理过程来自网站。如有冒犯还请周知。

多面体的每个面是正n边行，每个顶点是m条棱，于是，棱数E应是F（面数）与n的积的一半，即

Nf=2E--------------1式

同时，E应是V（顶点数）与M的积的一半，即

mV=2E--------------2式

由1式、2式，得

F=2E/n,V=2E/m,

代入欧拉公式

V F-E=2，

有

2E/m 2E/n-E=2

整理后，得1/m 1/n=1/2 1/E.

由于E是正整数，所以1/E0。因此

1/m 1/n1/2--------------3式

3式说明m,n不能同是大于3，否则3式不成立。另一方面，由于m和n的意义（正多面体一个顶点处的棱数与多边形的边数）知，m=3且n=3。因此m和n至少有一个等于3

当m=3时，因为1/n1/2-1/3=1/6,n又是正整数，所以n只能是3，4，5

同理n=3，m也只能是3，4，5

所以

nm类型

33正四面体

43正六面体

34正八面体

53正十二面体

35正二十面体

由于上述5种多面体确实可以用几何方法作出，而不可能有其他种类的正多面体

所以正多面体只有5种。