极小值点和极小值哪个是x哪个是y?y,x
昵称为“苏”的读者朋友问到了下面的问题.
请问左老师,你觉得y=|x|算不算有极小值?
苏,
这个绝对值函数y=|x|的图象是一个V字形,如下图.
你的问题是,函数y=|x|是否在x=0处取得极小值?
要回答这个问题,就要找到评判的标准——函数极值的定义.
从图象中明显看出,在x=0附近都有f(x)>f(0).根据定义,函数y=|x|在x=0处取得极小值f(0).
所以,用图象法来判断极值其实是最靠谱的.
那你会问我:本题可否使用导数法来判断极值呢?
答案是:不可以.
因为函数y=|x|在x=0处不可导.
我写过函数的连续与可导,
其中谈到函数(首先是连续)可导的条件是:左导数=右导数.
而对于这个绝对值函数y=|x|,左导数=-1;右导数=1,它们不相等.所以,函数y=|x|在x=0处不可导.
既然不可导,当然也不可能求出该点的导数值了.
但是不可导的点也可能是极值点.
下面讲两个标准、四个注意.
1
对于可导函数,用导数法判断极值
中学教材里的题目,多数以可导函数为素材.所以,用导数法求极值是我们最通行的做法.
但是,对于可导函数f(x),即使在某点处f'(x)=0,该点也可能不是极值点.比如f(x)=x^3,满足f'(0)=0,但0不是该函数的极值点.
注意1:对于可导函数f(x),f'(x0)=0是函数f(x)在点x0处取得极值的必要不充分条件.
上面所举的三次函数的例子就是证明.
注意2:对于可导函数f(x),f'(x0)=0,且在x0左侧与右侧,f'(x)的符号相反是函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件.
所以,我们在求出导函数的零点之后,一定要判断在该零点的左右两侧,导函数的符号是否发生改变.
2
对于不可导函数,用图象法判断极值
其实,图象法判断极值的方法适应面非常广.
只不过因为不可导函数不能用导数法,就只能依靠图象法了.
图象法比较直观,不必多说.
要多说几句的是:不可导点可能是极值点,也可能不是极值点.
比如,下面两个栗子.
y=|x|在x=0处不可导,但x=0是极小值点;
y=x|x|在x=0处不可导,在x=0处也取不到极值.
下面总结注意3和注意4.
注意3:不可导点可能是极值点,也可能不是极值点.
注意4:对于可导未知的函数f(x),f'(x0)=0是函数f(x)在点x0处取得极值的既不充分也不必要条件.
祝开心.
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