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混沌系统：观测的精度。

1976年，生物学家和数学家Robert May在《Nature》发表了一篇名为：复杂动力学的简单数学模型的论文。这篇论文讨论了一个看起来非常简单的公式：

·我们只需要设置好X和a的值，这个公式就可以一直运行下去算出来 x1、x二、x三无穷无尽。比如我们设定a=2，X。=0.2，那么就可以算出来X，=0.32。再把X代入公式，就能得到X2=0.4352。

在迭代几轮之后，X。就会到达0.5，并在之后的迭代中一直保持不变。实际上，无论X是多少，只要A=2，最后都会进入到XN=0.5的结局。

但如果a值变大，比如A=3.1时，事情就开始起变化了。这时的X，会在两个点左右横跳。如果A再大一点，循环横跳的点就会变成4个，8个，16个，直到A大于等于3.569946时，循环周期会变成无穷。

这一瞬间，整个Logistic映射其实发生了质的改变。因为在这之前，X有一个可预期的循环模式，只要确定初始值，它们就是可预测的。但在这之后，X就开始变得难以预测了。X，们不再进入周期式的震荡，而是进入到一种难以捉摸的随机状态。

以a=4为例，你会发现，仅仅是0.0000000001的初始值差距，Logistic映射就能得到一个完全不同的轨道结果，是真正的差之毫厘，谬之千里。这就是混沌系统。

robery最后总结到，在混沌系统中不管初始条件有多接近，在足够长的时间之后他们的轨道还是会相互分开，这意味着即使我们的模型很简单，所有的参数也都完全确定，长期预测也仍然是不可能的。

在一九七六年，这是一个让人相当震惊的事实，影响了一大批后世科学家也成为了复杂系统这门新兴学科的起点之一。

今天，我们可以在生活中发现各种各样的混沌系统，比如天气和股市。比如我们可以把X理解为此刻的天气，那么A就意味着变化率成千上万个的独立行为汇聚在一起，最终决定了天气的变化和走向。今天的人类已经可以准确预测探测器到达火星的时间，却还是无法准确预测明天的天气。这是因为天气和Logistic映射一样，对初始条件极端敏感，只有足够精确的信息观测才能有足够精确的预测。

而相比天气，股市还要更加复杂。因为我们的预测不会影响天气，但是会真实影响股市的走向。人心的加入让整个系统变得更加复杂，成为一个「二阶」混沌系统。这也可以解释，为什么那么多主动型基金经理做了大量的研究和数据分析，却仍然无法战胜指数。因为市场的复杂程度远远超过了研究员的分析精度。而在一个混沌系统中，初始条件只要有一点点偏差就很可能会得出完全相反的预测。

当然，我们还是可以看到一些像巴菲特这样的例外，底层原因在于他们在自己的能力圈里面给出了超越市场平均的洞察。通过择股获得了超额的收益。但绝大多数明星投资人，最终都把曾经赚的钱又还了回去。

凯茜·伍德，比尔·米勒，这几条净值曲线就是他们的故事。所以，在「收益=市场+择股+择时」的公式中。不管是择股还是择时，我们都不能强求自己预测未来。我们无法精确地判断什么时候涨，涨多少，我们能做的是做出胜率更高的决策，这也是投资成功的关键。时间的秘密：长期持有。

这张图是2005年到2022年的万得全A指数，基于各种关于股票估值高低的指标，我们可以试图量化每一天的市场情绪，得到一条这样的线，就像温度一样把市场情绪热度分成低、中、和高三个温带。温度越高意味着市场越火热。大家愿意给股票高估值，比如2015年6月的4倍PB时期肯定是属于高温带，而如果大家给股票的估值下降温度也会随之下降，这意味着它们的价格很可能低于内在价值，便宜，盈利的概率也更大。

在统计中低温带买入并持有5年的盈利概率大于95%，是买入的好时机。这种站在较长时间维度下观察市场情绪的择时能帮助我们在便宜的时间买入资产，增加投资成功的胜率。现在我们有了好资产，也有了好价格。只剩下最后一个问题，什么时候卖出？答案是：长期持有。

2022年这份《公募基金投资者盈利洞察报告》中六家主办机构汇总的交易记录数据，可以给我们一些启发。

·第一个发现是持仓时间越长收益率越高。持仓时间一个月以内客户平均年化收益率是-的4.59%，持仓一年到两年甚至也只有-1.29%的平均年化收益率。而只要持仓时间超过两年，甚至三年就能获得2.65%和6.52%的收益率。这是为什么？这个实验可以告诉我们答案。从2003年到2022年，如果错过股市涨幅最高的几天我们会少赚多少钱？如果错过其中涨幅最大的5天，沪深300和万得全A的年化收益就会降低至4.3%和6.17%。

十天，二十天，错过越多，回报越低。如果直接错过涨幅最高的30天，即使拿了20年持有沪深300和万得全A的年化收益，也会跌成-2.58%和-1.15%。20年里大约4800多个交易日，长期投资的收益仅由涨幅最高的30天决定，占比只有0.6%。

投资回报在时间上分布极度不均。如果承受波动是进入股市必购的门票，这至关重要的几天就是我们始终待在市场里的奖励。这就是为什么持仓时间越长，收益率越高的原因。只有这样才不容易错过这些涨幅高的日子。

但遗憾的是这份报告中58%左右的投资者持仓都超不过一年，能拿短短一年到两年的也才22.8%。而持仓两年到三年甚至超过三年的只有百分之七点四，二百分之十一点二五根本拿不住。

投资界常说当闪电劈下来时你最好保证自己在场，但大部分人都耐不住寂寞焦躁地不断进进出出，避开了闪电就像格雷厄姆在《聪明的投资者》中所写：投资不是要在别人的游戏中打败他们，而是要在自己的游戏中控制自己。